Тема №4 - начало. Построение эконометрических моделей

 

Вопросы для изучения. Мультиколлинеарность и отбор наиболее значимых факторов. Модели с фиктивными переменными. Критерий Чоу объединения двух выборок.

 

    8.1 Определения, формулы, справки

    А) Мультиколлинеарность – наличие одного из двух типов линейной зависимости между факторами регрессионной модели. Первый тип - полная коллинеарность - следствие функциональной зависимости между факторами. Она приводит к неопределённости параметров регрессииb, поскольку при их нахождении происходит деление на 0, см (7.6) и (7.12).

Второй тип коллинеарности - частичный, он обусловлен статистической зависимостью между факторами регрессионной модели. Она обнаруживается, во-первых, по матрице парных коэффициентов корреляции - их высоким значениям, во-вторых, по неустойчивости оценок b.

Неустойчивость оценок выражается:1) в увеличениидисперсии оценок – последние могут сильно различаться для разных выборок, 2) в возникновении противоречия: модель может быть признана значимойпо F-критерию, а все её коэффициенты -.незначимыми по t-критерию. Другие последствия мультиколлинеарности: затруднена интерпретация модели, снижается информативность факторов, набор которых становится избыточным.

    Б) Отбор наиболее значащих факт оров является одновременно и методом понижения мультиколлинеарности. Отбор производят, во-первых, с помощью корреляционной матрицы факторов: если r_x1.x2 , то одну из переменных можно исключить, она не добавляет информации о результирующей переменной. Во-вторых, с помощью метода – назовём его так - «вращения факторов». Он более трудоёмкий, но даёт очень хорошие результаты. Алгоритм метода «вращения» на примере.

1). Экспертно отбираем, например, 5 наиболее подходящих факторов: Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅.

2). С каждым из 5-ти факторов образуем парную регрессию и вычисляем скорректированный коэффициент детерминации ². Отбираем фактор с наибольшим ², например, Х_2.

3) С каждым из 4-х оставшихся факторов образуем тройную регрессию и фиксируем ². Отбираем фактор с наибольшим ², например, Х₄.

4). С каждым из 3-х оставшихся факторов… И т.д.

5). Процедуру останавливаем, когда включение никакого фактора из оставшихся не повышает ².

Отобранные, например, три переменных уже не создадут эффект мультиколлинеарности, будут наиболее значимыми.

    В) Модели с фиктивными переменными. Речь идёт об атрибутивных переменных, которые можно ввести в регрессию с помощью фиктивных переменных. Обычно фиктивная переменная является булевской: принимает два значения: 0 и 1. Например, переменной пол фиктивно присваиваются значения: если М, то 0, если Ж, то 1. Другой пример: с помощью двух булевских переменных можно «закодировать» четыре уровня образования двоичными числами: 00, 01, 10, 11.

Г). Критерий Чоу объединения двух выборок. На практике часто возникает вопрос: можно ли две выборки «слить» в одну. Например, 1-я выборка – по мужчинам длиной n₁, 2-я – по женщинам длиной n₂. По методу Чоу строятся три регрессионные модели. Первые две - линейные регрессионные модели на выборках по М и по Ж соответственно с коэффициентами-векторами b‘ и b^,,. Третья модель - по объединённой выборке. Нулевая гипотеза Н₀: b‘=b^,, и D(e‘)=D(e^,,)=s². Если Н₀ верна, то эти две регрессионные модели «эквивалентны» и их можно объединять в одну. Гипотеза Н₀ отвергается с уровнем значимости a, если выполняется неравенство - критерий Чоу:

,

(8.1)

где å - оператор суммирования по i от 1 до n по ошибкам объединённой регрессии, å^' - оператор суммирования по i от 1 до n₁, å^'' - оператор суммирования по i от n₁+1 до n.

 

Работа с тестами

1 Три негативных последствия частичной мультиколлинеарности факторов:

А рост дисперсии оценок параметров

Б уменьшение дисперсий оценок параметров

В противоречие в значимостях уравнения и коэффициентов

Г избыточность в наборе факторов

 

 

2 Коллинеарными называются вектора, которые

А перпендикулярны друг другу

Б перпендикулярны друг другу и исходят из одной точки

В расположены на параллельных прямых и однонаправлены

Г расположены на параллельных прямых или на одной прямой

 

3 В модели регрессии мультиколлинеарными бывают вектора вида:

АXi=(x_i1, x_i2, …, x_ip), i=1, 2, …, n

БХ_j=(x_1j, x_2j,.., x_nj), j=1, 2, …, p

В Y=(y₁, y₂, …, y_n)

Г

 

4 Размерность корреляционной матрицы при 3-х факторах:

А 2х3;    Б 2х2;   В 3х3;   Г 3х4

 

5 Понижение мультиколлинеарности на основе корреляционной матрицы:

А исключить один фактор из пары с высокой корреляцией

Б включить фактор с высоким коэффициентом корреляции

В исключить все факторы, у которых высокая парная корреляция

Г включить только те факторы, у которых наибольшая корреляция с Y

 

6 Частные коэффициенты корреляции особенно информативны

А при высокой мультиколлинеарности факторов Х1, …Хр

Б при низкой мультиколлинеарности факторов Х1, …Хр

В при полном отсутствии мультиколлинеарности факторов Х1, …Хр

Г в случае, если число факторов больше двух

 

7 Для отбора из 4-х факторов «методом их вращения» нужно построить регрессий:

А 7;     Б 8;       В 9;     Г 10.

 

8 Критерий Чоу используется для проверки гипотезы о

А высокой мультиколлинеарности факторов

Б значимости уравнения регрессии

В возможности объединить две выборки в одну

Г целесообразности включения очередного фактора в модель

 

8.3 Решение задач и контрольные вопросы

Задача 1. На плоскости ХОY нарисовать два полностью неколлинеарных вектора Х1 и Х2. Как называются такие вектора. Записать и вычислить их скалярное произведение.

Задача 2. На плоскости ХОY нарисовать два полностью и два частично коллинеарных вектора Х1, Х2 и Х3, Х4. Записать и вычислить их скалярные произведения. Какое место в регрессионном анализе занимают эти вектора.

    Задача 3. Построить корреляционную матрицу для выборок Х1=(1, 2, 4), Х2=(2, 4, 6) двух случайных величин. Провести по матрице отбор значащих факторов: Х1 и Х2.

    Задача 4. Реализовать шаг за шагом процедуру отбора наиболее значимых факторов «методом вращения» для уравнения регрессии с переменными Х1-Х4, иллюстрируя её графически, все значения назначать «предположительно» (вычислять ничего не надо).

Задача 5. Для магазина - линейной парной регрессии =0,43+1,54x - построить функцию эластичности, исследовать её, определить значение коэффициента эластичности для х= сформулировать его экономический смысл.

 

Контрольные вопросы:

1) Раскройте дословно смысл двух терминов: ковариация, мультиколлинеарность.

2) Какие три и более проблем создаёт явление мультиколлинеарности

3) Создайте схему отбора значимых факторов с помощью корреляционной матрицы, какие сложности здесь возникают

4) Какова схема отбора наиболее значимых факторов с помощью «процедуры вращения». Какие показатели можно использовать на оси Y

5) Какие полезные результаты можно получить от применения критерия Чоу

 

    8.4 Решение сквозной задачи №2: Построение и исследование