Тема №4 - окончание. Построение эконометрических моделей

 

Вопросы для изучения. Нелинейные модели регрессии, их классификация и линеаризация. Производственные функции Кобба-Дугласа. Проблема гетероскедастичности, тесты на её наличие, её устранение.

 

    9.1 Определения, формулы, справки

        

А) Нелинейные модели регрессии, их классификация и линеаризация.

Таблица 9.1 - Классификация нелинейных уравнений регрессии

Н1 - Нелинейные по переменным, но линейные по параметрам	Н2-Нелинейные по параметрам
	Н.2.1- но внутренне линейные	Н.2.2-и внутренне нелинейные
у = bо+b1x + b2x2 + e	степенная: у = bо xb1e	степенная: у = bо xb1 + e
у = bо+ b1 /x + e	показательная: у = bоb1xe	гиперболическая
у = bо+ b1 lnx+ e;	экспоненциальная: у = еb0 + b1хe.

 

Класс Н1.Параметры этих моделей как и линейных определяются с помощью МНК, нотребуется замена переменных. Например, в уравнении у = b_о+b₁x + b₂x² + e заменим переменную x² на х₂, получим двухфакторное линейное уравнение регрессии: у = b_о+ b₁x₁ + b₂x₂+ e.

Класс Н.2.1.Эти модели после преобразования к линейному виду также решаются посредством МНК. Например, прологарифмировав степенную функцию, получим: lny = lnb_о + b₁ lnx+ lne. Заменим переменные: lny = z, lnb_о =b_о’; lnx = u, lne = e‘. Получаем линейное уравнение регрессии: z = b_о’+ b₁u +e‘.

Класс Н.2.2. Для этих моделей МНК может быть применен только с использованием поисковых процедур для решения системы уравнений, т.к. аналитически она не разрешается (метод наискорейшего спуска Кошии пр.).

Б) Производственная функция Кобба-Дугласа:

= AKaLb,

(9.1)

где Y - объем производства, руб

К - затраты капитала, руб

    L - затраты труда, руб

   a и b - коэффициенты эластичности Y по К и L: Е_К(Y)=a, Е_L(Y)=b.

С учетом ошибок eфункция может выглядеть как мультипликативная степенная модель:

Y = AKaLbe.

(9.2)

Эту модель можно свести к линейной относительно параметров путем логарифмирования:

lnY = lnA+alnK+blnL+lne.

(9.3)

Если в (9.2) принять, что при увеличении затрат К и L на расширение масштабов производства в несколько раз объем производства возрастает в такое же число раз, то a+b=1 и функция примет вид: Y = AK^aL^1-ae или:

Y/L = A∙(K/L)ae,

(9.4)

где Y/L -     производительность труда (руб./чел. за год),

K/L - капиталовооруженность (руб./чел. в среднем за год).

Для оценки параметров модели (9.4) ее нужно прологарифмировать.

    В) Проблема гетероскедастичности, тесты на её наличие, её устранение. Условие гомоскедастичности (матрица ковариаций å_e=s²E_n) часто нарушается, появляется гетероскедастичность. В парной регрессии это может проявиться так: с ростом Х растёт и разброс точек (остаточная дисперсия s²). И в этом случае можно применить МНК, но если мы хотим оценить точность модели, ее значимость, получить интервальные оценки коэффициентов, то результаты окажутся непригодными. И ещё: оценка вектора b– несмещённая и состоятельная, не будет иметь минимальную дисперсию.

Для обнаружения гетероскедастичности применяют тест ранговой корреляции Спирмена, основанный на коэффициенте ранговой корреляции.

Явление гетероскедастичности можно устранить специальным - взвешенным –МНК: S= ( _i - y_i)²/ _i.

 

Работа с тестами

 

1 Какому из трёх типов нелинейности относится функция  у=b₀+b₁Х²+е

А линейная

Б нелинейная по переменным, линейная по параметрам

В нелинейная по параметрам, внутренне линейная

Г нелинейная по параметрам, внутренне нелинейная

 

 

2 Классификация по признаку нелинейности, установить соответствие:

Тип нелинейности регрессии	Пример регрессии
А линейная	1 =b0+b1Х2+е
Б нелинейная по переменным, линейная по параметрам	2 =b0+b1Х1+b2Х2+e
В нелинейная по параметрам, внутренне линейная	3 =b0 +e
Г нелинейная по параметрам, внутренне нелинейная	4 = b0 e

 

3 Для функции Кобба-Дугласа =AK^αL^β установить соответствие:

Переменная	Обозначение
А затраты капитала	1 L
Б затраты труда	2 K
В объём производства	3

 

4 К какому типу нелинейности относится функция Кобба-Дугласа

А линейная

Б нелинейная по переменным, линейная по параметрам

В нелинейная по параметрам, внутренне линейная

Г нелинейная по параметрам, внутренне нелинейная

 

5 Тест Спирмена для проверки наличия гетероскедастичности использует инструмент

А ранговой корреляции модуля ошибок  и фактора Х

Б доверительного интервала ошибки регрессии

В равенства дисперсий m первых и m последних ошибок в выборке

Г применения функции эластичности Е=b₁Х/(b₀+b₁Х)

 

6 Негативные последствия гетероскедастичности:

А дисперсия вектора b не минимальна (оценка b не эффективная)

Б нельзя применить обычный МНК

В требуются поисковые процедуры для решения системы уравнений

Г существенная зависимость оценки b от выборки

 

9.3 Решение задач и контрольные вопросы

 

Задача 1. Дано уравнение регрессии у = b_о x^b1e. Определить тип его нелинейности (один из 3-х). Если возможно, линеаризуйте его и замените переменные.

Задача 2. Составьте схему алгоритма применения теста Спирмена для проверки на присутствие гетероскедастичности.

Задача 3. Дана производственная функция Кобба-Дугласа =AK^αL^β. Определить тип её нелинейности (один из 3-х). Если возможно, линеаризуйте её и замените переменные.

Задача 4. В координатах XOYсоздайте графические образы гомо- и гетеро-скедастичности.

Задача 5. В координатах XOY на примере графического образа гетероскедастичности создайте графический образ её устранения и применения взвешенного МНК.

 

Контрольные вопросы:

1) Сравните достоинства и недостатки линейных и нелинейных моделей

2) Сколько типов нелинейности выделяют при классификации нелинейных моделей

3) В каких единицах измеряются переменные в производственной функции Кобба-Дугласа

4) В чём отличие аддитивных функций от мультипликативных

5) В чём суть теста Спирмена при проверке на гетероскедастичность. О каком требовании к выборке здесь уместно сказать.

6) На чём основана идея взвешенного МНК.