Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2022-10-29 | 42 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1) Постановка сквозной задачи №1 (одинакова для всех вариантов).ООО «Рыба» располагает семью небольшими магазинами «Рыба». Компания планирует создать 8-й магазин площадью 110кв.м. Менеджеры разрабатывают бизнес-план и, в частности, планируют:
· построить эконометрическую модель магазина.
· С помощью модели осуществить точечный прогнозсуточной выручки нового магазина,
· На модели осуществить точечный и интервальный прогноз суточной выручки.
· Исследовать полученную модель на достоверность.
2) Выбор варианта и исходных данных для задачи №1. Вариант состоит из двух букв. Первая буква выбирается по первой подходящей букве полного имени из набора: А, Е, И, О, Я; вторая буква - по первой подходящей букве фамилии из набора: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, О, П, Р. Пример: вариант для « Людм и лаИ в анова» - ИВ.
Исходные данные выписываются из таблиц А.1-А.5. По букве имени выбираем таблицу. В нашем примере это буква И - таблица А.3. Во 2-й графе таблицы А.3 находятся семь значений xi – площади магазинов. По букве фамилии из соответствующего столбца – в нашем примере это В - выписываем значения переменной уi - суточная выручка магазинов. К некоторым данным добавляется буква «г» - последняя цифра года, в котором получено задание (от 0 до 9).
Авторы для задач 1 и 2 использовали вариант АЪ, в таблице 3.4 исходные данные для него из таблицы А.1.
Таблица 3.4 – Исходные данные для сквозных задач примера – вариант АЪ
xi | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
yi | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 | 7 | 14 |
3) Нанесём в координатах ХY точки на плоскость (построим корреляционное поле), см рисунок 3.1. Делаем выводы: 1) точки корреляционного поля хорошо аппроксимируются прямой линией, 2) зависимость между Х и Y тесная и прямая. На этом основании выбираем в качестве модели магазина линейную функцию – уравнение парной регрессии:
|
ŷ=b0+b1x | (3.3) |
Рисунок 3.1 – Наблюденные точки и линия регрессии
4) Найдёмзначения параметров b1 и b0уравнения регрессии по формулам (метод наименьших квадратов):
(3.4) |
Расчёты удобно сводить в таблицу 3.5 (графы с 1-й по 6-ю)
Таблица 3.5 – Промежуточные расчёты (нижняя строка – итого)
xi | yi | x2 | у2 | xiyi | (xi-x ̄)2 | y ̂xi | ei2=(y ̂ xi -yi) |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
1 | 2 | 1 | 4 | 2 | 5,90 | 1,97 | 0,00 |
1 | 3 | 1 | 9 | 3 | 5,90 | 1,97 | 1,06 |
2 | 4 | 4 | 16 | 8 | 2,04 | 3,51 | 0,24 |
3 | 5 | 9 | 25 | 15 | 0,18 | 5,05 | 0,00 |
4 | 5 | 16 | 25 | 20 | 0,32 | 6,59 | 2,53 |
5 | 7 | 25 | 49 | 35 | 2,46 | 8,13 | 1,28 |
8 | 14 | 64 | 196 | 112 | 20,88 | 12,75 | 1,56 |
24 | 40 | 120 | 324 | 195 | 37,68 | 39,97 | 6,67 |
Вычислим средние арифметические:
(3.5) |
Находим искомые оценки параметров регрессии и само уравнение регрессии:
b1= (27,86-3,43×5,71)/(17,14-11,76) =8,27/5,38=1,54 b0=5,71-1,54×3,43=0,43 =0,43+1,54x. |
(Продолжение в разделе 4).
Тема №2 - начало. Парный регрессионный анализ
Вопросы для изучения. Метод наименьших квадратов и коэффициент корреляции. Основные предпосылки регрессионного анализа (теорема Гаусса-Маркова).
Определения, формулы, справки
А) Метод наименьших квадратов (МНК). Неизвестные параметры bo и b1 из (3.3) определяются с помощью МНК. Суть МНК состоит в отыскании оптимальных значений параметров bo и b1 таких, которые доставляют минимум сумме квадратов отклонений наблюденных значений yi от теоретических значений ŷ, определяемых регрессией (3.3):
S(bo, b1) = å (ŷ-yi)2 = å (bo +b1xi - yi)2 ® min. | (4.1) |
Для отыскания минимума Sприравняем нулю производные:
¶S/¶bo= 2å (bo +b1xi - yi) = 0 ¶S/¶b1 = 2å (bo +b1xi - yi) xi = 0. | (4.2) |
После преобразований получаем систему из 2-х линейных уравнений с неизвестными оптимальными bo и b1:
bon + b1åxi = å yi, boåxi + b1å = å xi yi. | (4.3) |
Разделим 1-е уравнение на n и получим полезное выражение: линия регрессии проходит через точку средних ( , ):
= bo +b1x̄. | (4.4) |
Из решения (4.3-4.4) получаем:
|
bo = - b1 b1 = | (4.5) |
где sx2 - выборочная дисперсия переменной Х:
= å /n - ()2. | (4.6) |
- выборочная ковариация:
= å xi yi/n - | (4.7) |
Б) Коэффициент парной корреляции rxy. Формулы для его вычисления.
r = b1 sx/sy | (4.8) |
Коэффициент корреляции отражает тесноту линейной статистической связи СВ Х и Y. Его свойства:
1) -1 £ r £ 1. Чем ближе модуль çrç к 1, тем теснее связь Х и Y.
2) Если r = ± 1, то связь между Х и Y - функциональная и линейная.
3) Если r = 0, то линейная корреляционная связи СВ Х и Yнет.
В) Основные предпосылки регрессионного анализа. Пусть для оценки параметров регрессии взята выборка из n пар (xi, yi). Тогда вероятностная (стохастическая) модель имеет вид:
yi = b0 +b1хi + ei. | (4.9) |
Пять основных предпосылок:
1)В (3.9) ошибка ei (а значит и yi) есть величина случайная, а фактор хi - неслучайная.
2)М(ei) = 0 и, следовательно, М(yi) = b0 +b1хi. | (4.10) |
3) Должно выполняться условие гомо скедастичности (равноизменчивости) возмущения ei для всех значений Х:
D(ei) = s2 = D(yi) = const. | (4.11) |
4) Ошибки ei и ej (и переменные у i и у j) некоррелированы:
rei ejдлялюбыхiиj, i¹j. | (4.12) |
5) Ошибки ei (и переменная уi) есть НРСВ.
Модель, для которой выполняются все пять предпосылок, называется нормальной классической линейной регрессионной моделью (НКЛРМ).
Работа с тестами
1 Метод наименьших квадратов основан на:
А сумме квадратов модулей отклонений значений yi отŷi
Б сумме модулей квадратов отклонений значений yi от ŷi
В сумме модулей отклонений значений yi от ŷi
Г сумме квадратов отклонений значений yi от ŷi
2 Результат МНК – система из 2-х линейных уравнений относительно:
А переменных xiyi
Б параметров b0 и b1
В возмущенийei ej
Г СКО sxи sy
3 Оценки b0 и b1 оптимальные, потому что они:
А наибольшие
Б минимизируют функцию S(bo, b1) = å (ŷi- yi)2
В максимизируют функцию S(bo, b1) = å (ŷi- yi)2
Г наилучшие
4 Оценки b0 и b1
А несмещённые
Б состоятельные
В эффективные
Г имеют наименьшую дисперсию
5 Установить соответствие (b0 и b1 больше 0):
Зависимость у от х | Коэффициент парной корреляции rxy |
А у=b0+b1 х | 1) 0 |
Б у=b0-b1 х | 2) -1 |
В х2+у2=R2 | 3) +1 |
6 Установить соответствие:
Выборки | Коэффициент парной корреляции rxy | |
А | Х= 1, 3, 5, 10 и Y= 6, 8, 11, 15 | 1) – 0,7 |
Б | Х= 1, 3, 5, 10 и Y= 13, 10, 7, 2 | 2) +0,7 |
7 Оценка остаточной дисперсии s2 при использовании МНК:
|
А несмещённая и состоятельная
Б несмещённая и эффективная
В состоятельная и эффективная
Г имеет наименьшую дисперсию
8 Три из пяти предпосылок парного регрессионного анализа:
А фактор Х – величина случайная
Б математическое ожидание ошибки равно нулю: М(
В выполняется условия гомоскедастичности: D()=const
Г возмущения некоррелированы: rei ej=0, i
4 .3 Решение задач и контрольные вопросы
Задача 1. МНК. Уравнение (3.2) ¶S/¶bo= 2å (bo +b1xi - yi) = 0 привести к виду (3.3) bo n + b1 åxi = åyi.
Задача 2. МНК. Уравнение (3.2) ¶S/¶b1 =2å (bo +b1xi - yi) xi = 0 привести к виду (3.3) bo åxi + b1 å = åxiyi.
Задача 3. Даны выборки двух СВ: Х= 1, 3, 5 и Y= 13, 10, 7. Рассчитать коэффициент корреляции, выполнить анализ алгоритма решения задачи:
1).Выбираем рабочую формулу, например,
2).Рассчитываем средние арифметические
3).Формула для расчёта дисперсий sx2 и sy2: sx2= /(n-1)
4).Подставляем все значения в рабочую формулу и вычисляем rxy.
Задача 4. Определить графически и аналитически прогнозное среднее значение выручки для нового магазина с площадью х=11 на основе регрессионной модели =0,43+1,54x. Выполнить анализ алгоритма решения задачи:
1).В координатах XYстроим прямую линии для уравнения регрессии
ŷi=0,43+1,54x
2).Находим графически прогнозное значение выручки ŷiдля х=11
3).Вычисляем прогнозное значение выручки для х=11: ŷi=0,43+1,54×11=17,37
4) Результаты п.п 3 и 4 должны совпадать.
Задача 5. В рамках модели магазина дать точное определение переменным и на рисунке 2.1 показать их графические образы: у2, , 2, х3, 2-у2, е3, sx, s.
Контрольные вопросы:
1) В чём суть метода наименьших квадратов
2) В каком смысле параметры регрессии, найденные с помощью МНК, можно называть оптимальными
3) Какие соображения возникают при анализе причин ненулевого значения параметра b0 в модели магазина
4) Если коэффициент корреляции между Х и Y равен 0, то какие из этого можно сделать выводы.
5) В чём смысл условия гомоскедастичности
4.4 Решение сквозной задачи №1: Построение и исследование модели магазина- линейной парной регрессии (п.п. 5-11)
5) Представим уравнение регрессии =0,43+1,54x графически в виде прямой линии на плоскости XY (например, по двум каким-либо точкам.
|
6) Покажем графически и аналитически, что линия регрессии проходит через точку средних значений (x̄,ȳ) переменных х и у (способ проверки правильности расчётов).
Графически: на рисунке 3.1 видно, что линия регрессии проходит через точку “средних” (x̄=3,43; ȳ=5,71).
Аналитически:ŷ=0,43+1,54×3,43 = 5,71, что и требовалось доказать.
7) Определим: насколько вырастет средний объем продаж при увеличении площади х на 1 (10 кв.м). Ответ даёт значение коэффициента регрессии b1: объём продаж вырастет на 1,54 (15400 руб/день).
8) Определим: имеет ли смысл свободный член в уравнении регрессии. Ответ: свободный член b0=0,43 смысла не имеет, т.к. при нулевой торговой площади (х=0) положительного объема продаж быть не может.
9) Вычислим промежуточные значения выражений iи – графы 6 и 7 таблицы 3.2.
10) Вычислим коэффициент корреляции между переменными X и Y. Для этогоиспользуем данные из таблицы 3.2 и формулу:
(4.13) |
Здесь нам известно все, кроме СКО в знаменателе. Выполним расчёты:
-дисперсия СВ Y | |
- СКОСВ Y | sу= =3,70; |
- дисперсия СВ Х | |
- СКО СВ Х |
Окончательно, коэффициент корреляции:
Большое значение коэффициента говорит о высокойзависимости суточного объема продаж Yот размера торговой площади X.
11) Определим графически и аналитически точечное прогнозное значение объема продаж для будущего магазина "Рыба-8" с торговой площадью х=11 (110кв.м).
Графически: из рисунка 3.1 видно, что
Аналитически: =0,43+1,54×11=17,37.
(Окончание в разделе 5).
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!