Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2022-10-28 | 21 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пример 1.
Рецепт. Вводим замену . Отсюда: (вспомним формулу дифференциала) . Тогда (обратная подстановка) .
Пример 2.
В таблице элементарных интегралов имеется формула аналогичного интеграла:
Однако чаще же всего встречается более общий вариант этого интеграла: , где ─ некая числовая константа.
Рецепт. Выносим из знаменателя (а, значит, и из-под знака интеграла):
и делаем замену: . Тогда . А это уже знакомый табличный интеграл. Отсюда . Проводим обратную подстановку и получаем в результате
Полученным интегралом рекомендуем пополнить уже имеющуюся таблицу.
Приведение к «табличному виду».
Пример 3. Здесь рассматривается вариант, при котором дискриминант знаменателя существенно отрицательный (остальные варианты исследуются ниже).
Рецепт. Преобразуем трёхчлен знаменателя к виду, похожему на квадратный двучлен табличного интеграла, рассмотренного в Примере 2. Последовательность действий должна быть следующей:
Очевидно, что этот интеграл по своей структуре полностью соответствует интегралу Примера 2: переменной этого интеграла соответствует переменная , а множителю соответствует радикал: . Далее . Отсюда решение интеграла:
N.B.! Помните, что нельзя полностью доверять авторам любого учебного пособия (кто из нас не без греха?), в том числе и авторам данного пособия. Поэтому убедительная просьба: для проверки правильности взятия интеграла старайтесь почаще применять первое свойство интегралов!
Замена функции.
Для этого приёма характерно многообразие вариантов замены какой-либо функции, входящей в подынтегральную функцию. Удача чаще всего приходит только в случае перебора нескольких вариантов.
|
Пример 4. .
Рецепт. Здесь безальтернативный вариант замены: . Это – табличный интеграл: . Обратная подстановка приводит к конечному результату: .
Пример 5.
Рецепт. Опытный взгляд обнаружит интересную дробь ─ дифференциал функции , а в числителе дроби встречается именно такая функция. Отсюда должна появиться естественная мысль сделать замену: . Тогда . В результате этой подстановки имеем табличный интеграл: . Обратная подстановка приводит к конечному результату .
К этой же группе интегралов, требующих замены функции, относятся такие, в составе которых имеются радикалы ой степени , т.е. компоненты типа . Очевидно, такой радикал надо заменить какой-либо переменной того же типа.
Пример 6. .
Рецепт. Здесь . Очевидна замена = тогда = . Тогда интеграл легко приводится к = = +С.
Обратная подстановка даёт конечный результат: = +С.
Интегрирование «по частям»
Идея этого метода основана на формуле производной произведения двух функций: [1] и применяется чаще всего тогда, когда подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения пары хотя бы одной из следующих функций: и их вариаций.
Итак, если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения , то сочетание или можно принять за дифференциал или . Тогда решение интеграла получается по формуле:
Выбор функций-сомножителей определяется опытом самого решающего. Попытаемся показать это на конкретном примере.
Пример 7. .
Рецепт. Альтернатива выбора функций-сомножителей здесь небогатая: либо и , либо . Попробуем пойти первым путём
Вариант 1. . Повторно применяем этот же метод: и т.д. Очевидно, что этот путь - тупиковый: с каждым новым шагом показатель степени при аргументе растёт и не видно конца этим манипуляциям. Очевидна и причина такого тупика - неудачный первоначальный выбор функции .
Не следует думать, что есть люди, которые ни разу не совершали подобную ошибку, просто из этого надо сделать позитивный вывод: «на ошибках учатся».
|
А теперь пойдём альтернативным путём:
Вариант 2: . Тогда .
Интересной особенностью данного метода является решение «рекурсивных интегралов». Рассмотрим один из вариантов таких интегралов.
Пример 8. .
Рецепт. Применим метод «по частям»:
Сопоставив начало и конец этой цепочки, получаем решение .
5. Рациональные дроби
Известно [1], что дробь может называться «рациональной», если её числитель и знаменатель ─ целые числа. С этой точки зрения излагаемый дальше метод относится к интегралам вида: , где , а ─ полиномы порядка и , соответственно.
С точки зрения соотношения порядков полиномов возможны два варианта:
a) . В этом случае полином числителя «столбиком» делят на полином знаменателя, выделяя тем самым «целую» часть подынтегральной дроби и её «остаток». Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: , где
и ─ полиномы соответствующего порядка того же типа, что и исходные полиномы. Первый интеграл – сумма табличных интегралов. Ко второму интегралу применяют обычно метод «неопределённых коэффициентов», суть которого излагается дальше;
b) . Здесь сразу берётся интеграл указанным выше методом.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!