Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2022-10-28 | 20 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Часто в состав подынтегральных функций входят радикалы трёх видов: , и . В этих случаях применяются соответствующие так называемые «тригонометрические» подстановки:
1. Для - , соответственно.
Рассмотрим применение этой рекомендации на конкретном примере.
Пример 21.
Рецепт. Преобразуем подынтегральную функцию = и замещаем аргумент по одному из двух вариантов (см. выше), например, , тогда . В итоге = = = . Обратная постановка: , = и даёт конечный результат = = + .
2. Для - . Дальше следует решение примера на эту тему.
Пример 22. .
Рецепт. Здесь , поэтому применим вариант замены из двух предложенных выше, например, .
= = . Это уже знакомый интеграл (см. Пример 11), тогда +С. Нетрудно показать, что = = . После обратной подстановки = = .
Итак, имеем конечный результат: +С.
3. Для - . Решим соответствующий пример.
Пример 23. .
Рецепт. Здесь . Согласно рекомендациям выберем, например, вариант . Тогда искомый интеграл = = . Это интеграл, рассмотренный ранее, тогда промежуточное решение имеет вид: +С. Обратная подстановка даёт окончательное решение +С.
8. Интегралы с иррациональностью типа .
Рассмотрим один из вариантов таких интегралов на примере интеграла = ., где k, m, … – любые целые числа, =1,2,…, .
Алгоритм решения интегралов такого типа:
1 необходимо найти целое число М – наименьшее общее кратное (НОК) чисел ;
2 дроби заменить соответствующими им дробями где ─ целые числа;
3 тогда знаменатель подынтегральной функции принимает вид ;
4 теперь следует очевидная замена: = , отсюда = и = .
Далее, = , а этот интеграл решается по образцу Примера 9 или Примера 10
Пример 24. =
Рецепт. При сопоставлении данного примера с вышеприведённым получаем ():
|
1 , , , , .
2 НОК (, ) = М=12;
3 замена = , = , = ;
4 ,
Интеграл преобразуется: = = = . Здесь полная аналогия Примера 9: = =12 - =
+С.
Таблица 2
Дополнительная таблица интегралов, полученных
в результате промежуточных расчётов
Примечания | ||
или | ||
= +С |
Образец решения расчётно-графической работы
Решение любого варианта РГР рассмотрим на примере «нулевого» варианта
Таблица 3
«Нулевой» вариант РГР
Номер задания | Интегралы |
0 | 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. - решение данного интеграла сопроводить совмещённым графиком функций и |
Примечания
1. Все 25 заданий приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ 1.
2. Выполнение каждой задачи данного демонстрационного варианта должен сопровождаться проверкой решения (см. образец).
1. = . Согласно свойствам 3 и 4 («константу желательно выносить за знак интеграла» и «интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции») получаем: = , а это – табличные интегралы, поэтому решение: = .
ПРОВЕРКА = + ─ + = + + . Получено полное совпадение с подынтегральной функцией решаемого интеграла, значит, решение - верное.
Ответ = .
2. = = = . Для решения обоих интегралов используем приём «замены переменных»: = для интеграла и = - для интеграла . Тогда = = . Получаем = (табличный интеграл)= . С помощью обратной подстановки получаем = = .
Аналогичные преобразования для интеграла : = = приводят к результату = = = . Таким образом, общее решение = +С.
ПРОВЕРКА ( +С) = = ─ очевидное совпадение.
Ответ: = + +С.
3. = . Если присмотреться к числителю дроби, то без труда можно увидеть элементы производной выражения в знаменателе. Поэтому логично было бы использовать приём «замена функции»: = . Тогда дифференциал = = и интеграл принимает вид , т.е. снова табличный интеграл = . После обратной замены получаем = .
ПРОВЕРКА: = = =
= = - снова имеем полное совпадение выражения производной результата и подынтегральной функции решённого интеграла.
|
Ответ = +С.
4. = . Подынтегральная функция данной задачи при сравнении с той же функцией Примера 7 наводит на мысль использовать метод «по частям»: = .
ПРОВЕРКА = =
= = ─ интеграл взят верно.
Ответ = .
5. = . Сравнение этого интеграла с интегралом Примера 8 снова вызывает ассоциации с тем же методом «по частям»: = = , т.е. = . Тогда вводим
= . Снова применим метод «по частям», но уже к вторичному интегралу: . Продолжим интегрирование: = = = . Но последний интеграл совпадает с исходным интегралом, отсюда получаем следующее равенство = . Тогда 5 =
, = а искомый интеграл ─ = +С.
Согласно тексту задания в данном пункте необходимо построить вместе графики подынтегральной и первообразной функции и , чтобы визуально убедиться в выполнении основного свойства неопределённого интеграла: . Выбор интервала значений аргумента в общем случае – любой, хотя определённый интерес, например, может представлять анализ поведения этих функций вблизи точек экстремума первообразной функции, т.е. вблизи корней уравнения =0. Из текста решения данного интеграла следует, что подынтегральная функция , а первообразная функция (решение интеграла) = +С. Решаем уравнение: =0. Нетрудно убедиться, что это уравнение имеет бесконечное множество решений: . При значения обеих функций быстро уменьшаются из-за множителя , а при наоборот устремляются к , соответственно. Поэтому имеет смысл выбрать, например, интервал . Найдём корни, принадлежащие этому интервалу: . Поскольку ─ целое число, то эта величина в данном интервале может принять только четыре разных значения: 0,1,2 и 3, что соответствует четырём корням: . Построить совмещённый график Вы можете двумя способами: вручную или средствами Excel. Но в любом случае необходимо иметь таблицу, содержащую исходные данные и поэтому состоящую из трёх колонок. Первая ─ набор значений аргумента , две остальных ─ значения подынтегральной функции и первообразной функции для соответствующих значений . Алгоритм создания этой таблицы приведён в Приложении 2. Там же показано, как можно построить необходимый график на базе этой таблицы средствами Excel. В последнем случае построенный в Excel график можно распечатать на принтере и вклеить в отчёт (рис.1).
|
Рис.1. Графики подынтегральной и первообразной функций, соответственно, построенных средствами Excel.
Эти графики построены с использованием табл.4.
Таблица 4
Значения подынтегральной и первообразной функций .
0 | -7,00 | -0,65 |
0,16 | -1,15 | -1,30 |
0,31 | 1,61 | -1,20 |
0,47 | 0,86 | -0,98 |
0,63 | -0,18 | -0,94 |
0,79 | -0,30 | -0,98 |
0,94 | -0,05 | -1,01 |
1,10 | 0,07 | -1,01 |
1,26 | 0,04 | -1,00 |
1,41 | -0,01 | -1,00 |
1,57 | -0,01 | -1,00 |
Табл.4.Исходные данные: , подынтегральная функция и первообразная функция .
А теперь тот же рисунок, но выполнений от руки на базе той же таблицы (рис.2).
Рис.2. Графики подынтегральной и первообразной функций, соответственно, построенные вручную.
Хорошо видно, что на обоих рисунках нулям подынтегральной функции в точности соответствуют точки экстремумов первообразной функции , т.е. имеет место наглядное подтверждение свойства .
Естественно, что вы должны оформить любой из этих рисунков на ваш выбор.
ПРОВЕРКА: =
= = = ч.т.д.
Ответ: =. +С.
6. = . Согласно рекомендациям на с.13─14 проводим замену функции на функцию = = . Тогда искомый интеграл получит вид =
= = . Поэтому в соответствии со свойством 4 с.5 («интеграл суммы функций» равен «сумме интегралов») с использованием табличного интеграла получаем = ─ + = ( + - ). После обратной подстановки получаем: = ( + ) + С. Кстати сказать, с аналогичным интегралом можно познакомиться в Примере 14.
ПРОВЕРКА ( ( ─ + )+С) = + ( +
))= ( ─ + ─
─ ─ + ─ )= (1─ ). Используя основное тригонометрическое тождество , переписываем полученное выражение: (1─3 +3 ). Дальнейшие преобразования в скобках дают конечный результат: , подтверждающий правильность решённого интеграла.
Отве т: = ( + )+С.
7. = . Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами и , преобразуем подынтегральную функцию и получаем: = = =
+С, где = , а = .
Сначала с помощью формулы решаем первый
интеграл = = , где
1 = = ;
2 = =(снова замена аргумента)= ;
3 = =(удвоение аргумента)= = + + ;
4 = = = =(уже знакомым приёмом = )= =
.
После обратной замены = .
Возвращаемся к первому интегралу: = + + .
|
Второй интеграл решаем с помощью аналогичной замены: = = = . = = . После обратной замены = .
Собрав вместе результаты расчётов, получаем конечный результат:
= +С.
Авторы приносят извинения, но в виду того, что проверочные преобразования данной задачи оказались чрезвычайно громоздкими, мы не приводим подробно проверку! Желающие могут попробовать сделать это самостоятельно.
Ответ: = +С.
8. = . В этом интеграле подынтегральная функция (см. с. 16) последовательно преобразуется к форме, содержащей только степени функции и её дифференциал: . Воспользовавшись формулой = + и введя замену , получаем интеграл = . Этот интеграл легко решается:
= +С= +С.
После обратной подстановки получаем = +С.
N.B.! Этот алгоритм, естественно, не единственный: можно было бы сделать замену или и др.
ПРОВЕРКА
=
─ +
=
=
= =
= ─ правильность решения подтверждена.
Ответ:
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!