Наиболее популярные методы решения неопределённых интегралов

Пример решения простейшего интеграла.

Пример 0

.

Рецепт.

Используя свойство 4 (см. стр. 6), преобразуем «интеграл от суммы функций» в «сумму интегралов от функций»: + + + .

Нетрудно заметить, что подынтегральная функция первого интеграла . Аналогичная картина и в остальных интегралах: = , = , = .

Если вспомнить формулу дифференциала, то получим + + , т.е. мы имеем дело с элементарными «табличными» интегралами.

Тогда конечный итог: .

 

На будущее:

тактика вычисления любых неопределённых интегралов должна сводиться к такому преобразованию подынтегральной функции, чтобы её структура была похожа на структуру только что приведённого примера.

Поскольку многообразие подынтегральных функций практически неограниченно, то ниже предлагаются несколько «стандартных» приёмов преобразования подынтегральных функций, чтобы Вам не приходилось заново «изобретать велосипед».

 

Наиболее популярные методы решения неопределённых интегралов

 

Замена переменной интегрирования.

Пример 1.

Рецепт. Вводим замену . Отсюда: (вспомним формулу дифференциала) . Тогда (обратная подстановка) .

 

Пример 2.

В таблице элементарных интегралов имеется формула аналогичного интеграла:

 Однако чаще же всего встречается более общий вариант этого интеграла: , где  ─ некая числовая константа.

Рецепт. Выносим  из знаменателя (а, значит, и из-под знака интеграла):

 и делаем замену: . Тогда . А это уже знакомый табличный интеграл. Отсюда . Проводим обратную подстановку  и получаем в результате  

Полученным интегралом рекомендуем пополнить уже имеющуюся таблицу.

 

Приведение к «табличному виду».

Пример 3.  Здесь рассматривается вариант, при котором дискриминант знаменателя существенно отрицательный (остальные варианты исследуются ниже).

Рецепт. Преобразуем трёхчлен знаменателя к виду, похожему на квадратный двучлен табличного интеграла, рассмотренного в Примере 2. Последовательность действий должна быть следующей:

Очевидно, что этот интеграл по своей структуре полностью соответствует интегралу Примера 2: переменной  этого интеграла соответствует переменная , а множителю  соответствует радикал: . Далее . Отсюда решение интеграла:

N.B.! Помните, что нельзя полностью доверять авторам любого учебного пособия (кто из нас не без греха?), в том числе и авторам данного пособия. Поэтому убедительная просьба: для проверки правильности взятия интеграла старайтесь почаще применять первое свойство интегралов!

 

Замена функции.

Для этого приёма характерно многообразие вариантов замены какой-либо функции, входящей в подынтегральную функцию. Удача чаще всего приходит только в случае перебора нескольких вариантов.

 

Пример 4. .

Рецепт. Здесь безальтернативный вариант замены: . Это – табличный интеграл: . Обратная подстановка  приводит к конечному результату: .

 

Пример 5.  

Рецепт. Опытный взгляд обнаружит интересную дробь  ─ дифференциал функции , а в числителе дроби встречается именно такая функция. Отсюда должна появиться естественная мысль сделать замену: . Тогда . В результате этой подстановки имеем табличный интеграл: . Обратная подстановка приводит к конечному результату   .

К этой же группе интегралов, требующих замены функции, относятся такие, в составе которых имеются радикалы ^ой степени , т.е. компоненты типа . Очевидно, такой радикал надо заменить какой-либо переменной того же типа.

 

Пример 6. .

Рецепт. Здесь . Очевидна замена = тогда = . Тогда интеграл легко приводится к = = +С.

Обратная подстановка даёт конечный результат: = +С.

 

Интегрирование «по частям»

Идея этого метода основана на формуле производной произведения двух функций:  [1] и применяется чаще всего тогда, когда подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения пары хотя бы одной из следующих функций:  и их вариаций.

Итак, если подынтегральную функцию  можно представить в виде произведения , то сочетание или  можно принять за дифференциал или . Тогда решение интеграла получается по формуле:  

Выбор функций-сомножителей определяется опытом самого решающего. Попытаемся показать это на конкретном примере.

 

Пример 7. .

Рецепт. Альтернатива выбора функций-сомножителей здесь небогатая: либо и , либо . Попробуем пойти первым путём

Вариант 1. . Повторно применяем этот же метод:  и т.д. Очевидно, что этот путь - тупиковый: с каждым новым шагом показатель степени при аргументе растёт и не видно конца этим манипуляциям. Очевидна и причина такого тупика - неудачный первоначальный выбор функции .

Не следует думать, что есть люди, которые ни разу не совершали подобную ошибку, просто из этого надо сделать позитивный вывод: «на ошибках учатся».

А теперь пойдём альтернативным путём:

Вариант 2: . Тогда .

 

Интересной особенностью данного метода является решение «рекурсивных интегралов». Рассмотрим один из вариантов таких интегралов.

        

Пример 8. .

Рецепт. Применим метод «по частям»:

Сопоставив начало и конец этой цепочки, получаем решение .

 

5. Рациональные дроби

Известно [1], что дробь может называться «рациональной», если её числитель и знаменатель ─ целые числа. С этой точки зрения излагаемый дальше метод относится к интегралам вида: , где , а  ─ полиномы порядка  и , соответственно.

С точки зрения соотношения порядков полиномов возможны два варианта:

a) . В этом случае полином числителя «столбиком» делят на полином знаменателя, выделяя тем самым «целую» часть подынтегральной дроби и её «остаток». Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: , где  

и ─ полиномы соответствующего порядка того же типа, что и исходные полиномы. Первый интеграл – сумма табличных интегралов. Ко второму интегралу применяют обычно метод «неопределённых коэффициентов», суть которого излагается дальше;

b) . Здесь сразу берётся интеграл указанным выше методом.

 

Тригонометрические функции.

 

Специфика взятия интегралов, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции, заключается в большом разнообразии возможных приёмов интегрирования. Это обусловлено таким же большим разнообразием тригонометрических формул, с помощью которых можно представить одну и ту же тригонометрическую функцию.

Ниже мы рассмотрим наиболее часто используемые приёмы для решения таких интегралов, а пользователь может по своему усмотрению применять тот или другой приём для решения интегралов из своего задания.

 

6.1. Интегралы типа , .

а) вариант  (нечётная степень): . Подход к этим интегралам одинаковый, поэтому сначала рассмотрим, например, интеграл . Перепишем его в другой форме: . Очевидна замена: . Тогда . После раскрытия скобок для соответствующего значения искомый интеграл приводится к алгебраической сумме интегралов от степенной функции. Аналогично решается и интеграл  с той лишь разницей, что заменяется .

 

Пример 12.

Рецепт. Вводим замену . = . После обратной подстановки получаем решение:

б) вариант  (чётная степень): .

    Для данных интегралов используется другая схема: с помощью известных в тригонометрии формул  и  вдвое понижается степень и во столько же раз возрастает значение аргумента. Интеграл преобразуется в алгебраическую сумму интегралов от  в соответствующей степени (но отнюдь не обязательно!). Для интегралов с этой функцией в нечётной степени применяем способ из Примера 11, а для случая с чётной степенью – нужно ещё раз удвоить аргумент и т.д.

 

Пример 13.

Рецепт. С помощью приведённых выше формул преобразуем интеграл:

.

6.2. Интегралы типа

Интегралы этого типа несколько сложнее интегралов из предыдущего раздела. Возможны, естественно, три варианта:

а) один из показателей степени нечётный, другой─ чётный, т.е.

либо , либо , где  и  ─ целые числа.

Рассмотрим, например, первый вариант и преобразуем интеграл к виду: . Вид последних двух сомножителей наводит на очевидную мысль, что необходимо ввести замену  и воспользоваться основным тригонометрическим тождеством . Тогда интеграл примет вид: .

Раскрывая скобки для соответствующих степеней, получаем сумму интегралов от степенной функции.

 

Пример 14.

Рецепт. Вводим замену  и получаем . Обратная подстановка приводит к окончательному ответу .

б ) оба показателя чётные: . Тогда с помощью формул  и  интеграл преобразуется: . Раскрываем скобки и получаем алгебраическую сумму табличных интегралов.

 

Пример 15.

Рецепт 1. Используя преобразования, описанные выше, получим интеграл

. Здесь . Используем замену: . Тогда . Сделаем обратную подстановку и получим желанное решение: .

Рецепт 2. Можно использовать и другой путь: . Тогда подынтегральная функция получит следующий вид: = , а сам интеграл: = =  - = - = .

    Совпадение конечного результата по обоим рецептам свидельствует о правильности альтернатив решения одного и того же интеграла.

в) и, наконец, третий вариант – оба показателя нечётные:

. Преобразуем интеграл к виду: . Снова воспользуемся формулами удвоенного аргумента функции косинуса: . Очевидно, что напрашивается замена: : тогда интеграл принимает вид: . Снова интеграл доведён до состояния, когда его можно представить в виде алгебраической суммы табличных интегралов.

 

Пример 16

Рецепт. Используем преобразования, описанные выше, и получаем интеграл

. Замена:  

преобразует интеграл

. После обратной подстановки имеем решение .

    Каждый из этих трёх вариантов решения требует своего подхода. Но есть ещё один приём:

г) «универсальная тригонометрическая подстановка» , для которой находим дифференциал  Отсюда Применим этот приём к уже знакомому интегралу из Примера 11 . Подставив введённые выше выражения для  и , получаем интеграл:  Очевидно, что теперь можно использовать «метод неопределённых коэффициентов»:  Решаем простую систему линейных уравнений: . Результат:  Продолжим решение интеграла: =  Возвращая этот результат в исходный интеграл и делая обратную подстановку, получаем  Сравните этот результат с результатом Примера 11 и проверьте, нет ли расхождения.

 

N.B.! Имеются данные [1], что использование «универсальной подстановки» может привести к громоздким преобразованиям, что несколько снижает его ценность.

6.3. Интегралы типа

Поверхностный взгляд на подынтегральные функции данной группы вызывает очевидные ассоциации с формулами  и . Вспомним, что:

Рассмотрим для примера решение интеграла . Для него подходит первая из этих формул. В результате такого преобразования решением этого интеграла будет

.

Аналогично решаются и остальные интегралы.

 

Пример 17.

Рецепт. Применив одну из ранее приведённых формул, получаем решение:

.

 

6.4. Интегралы типа

 

Такого рода интегралы сводятся к табличным интегралам простой подстановкой:  для первого интеграла и  - для второго.

 

 

Пример 18.

Рецепт. Используем замену  и получаем решение = . После обратной подстановки получаем решение: .

 

Пример 19.

Рецепт. Ранее был рассмотрен интеграл , поэтому данный интеграл решаем рассмотренным ранее методом «по частям»:

 Нетрудно заметить, что мы снова имеем рекурсию. Отсюда искомый интеграл

 

6.5. Интегралы типа .

    К таким интегралам наиболее эффективно (а зачастую – единственным образом) применение описанной выше «универсальной подстановки»:

Вспомним, что , , и (см. стр. 16) . Тогда интеграл примет вид:  = = = .

    В зависимости от конкретного сочетания значений коэффициентов  получаем два основных исхода (с вариациями):

1. см. Пример 4.

2. . Этот случай, в свою очередь, распадается в зависимости от знака дискриминанта знаменателя = на два варианта:

2а:  ─ см. Пример 3;

2б: ─ см. Пример 9.

Рассмотрим конкретный пример:

 

Пример 20. .

Рецепт. Здесь , , , = .

Согласно вышеприведённой формуле с использованием универсальной подстановки данный интеграл получает вид = = . Значение дискриминанта . Тогда корни трёхчлена знаменателя вычисляем по формуле = . В соответствии с методом «неопределённых коэффициентов» =

= . Отсюда имеем систему двух линейных уравнений для коэффициентов  и : . Тогда  и , а = . Обратная подстановка  даёт конечный ответ +С.

Примечания

1. Все 25 заданий приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ 1.

2. Выполнение каждой задачи данного демонстрационного варианта должен сопровождаться проверкой решения (см. образец).

1. = . Согласно свойствам 3 и 4 («константу желательно выносить за знак интеграла» и «интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции») получаем: = , а это – табличные интегралы, поэтому решение: = .

ПРОВЕРКА = + ─ + = + + . Получено полное совпадение с подынтегральной функцией решаемого интеграла, значит, решение - верное.

Ответ = .

 

2. = = = . Для решения обоих интегралов используем приём «замены переменных»: = для интеграла  и = - для интеграла . Тогда = = . Получаем = (табличный интеграл)= . С помощью обратной подстановки получаем = = .

Аналогичные преобразования для интеграла : = = приводят к результату = = = . Таким образом, общее решение = +С.

ПРОВЕРКА ( +С) = = ─ очевидное совпадение.

Ответ: = + +С.

 

3. = . Если присмотреться к числителю дроби, то без труда можно увидеть элементы производной выражения в знаменателе. Поэтому логично было бы использовать приём «замена функции»: = . Тогда дифференциал = = и интеграл принимает вид , т.е. снова табличный интеграл = . После обратной замены получаем = .

ПРОВЕРКА: = = =

 = = - снова имеем полное совпадение выражения производной результата и подынтегральной функции решённого интеграла.

Ответ = +С.

 

4. = . Подынтегральная функция данной задачи при сравнении с той же функцией Примера 7 наводит на мысль использовать метод «по частям»: = .

ПРОВЕРКА =