Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых, зада-ных на плоскости.

     Рассмотрим на плоскости , на которой введена прямоугольная декартова система координат  , общее уравнение кривой второго порядка:

,                                (1.14)

где - заданные действительные числа, для которых выполняется неравенство:

,                                                                          (2.14)

Из (1.14) и (2.14) следует, что уравнение (1.14) можно представить в виде

        ,                                                       (3.14)

где

                                                      (4.14)

- квадратичная форма от переменных .Из аналитической геометрии известно,что основными невырожденными кривыми второго порядка на плоскости являются эллипс, гипербола и парабола.

Эллипс – этогеометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости  и , называмых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2 a.

Если фокусы эллипса поместить в точках  и  на координатной оси , то получим простейшее (каноническое) уравнение эллипса:

,                                                                              (5.14)

где большая и меньшая полуоси a  и b эллипса связаны соотношением   b ² =

= a ²  - c ² . При a = b уравнение (5.14) переходит в уранение окружности с центром в точке О и радиуса r = a.

Гипербола  - множество точек на плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых от двух фиксированных точек плоскости  и , называмых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2 a.

Если фокусы гиперболы поместить в точках  и  на координатной оси , то получим простейшее (каноническое) уравнение гиперболы:

                                                                             (6.14)

где полуоси a  и b гиперболы связаны соотношением   b ² = c ²  - a ² .

Парабола - множество точек плоскость, равноудалённых от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой (директрисы).

Если фокус параболы поместить в точке  координатой оси , где

число p называется параметром параболы и по абсолютной величине равно расстоянию между фокусом и прямой  - директрисой параболы, то получим каноническое уравнение параболы:

                                                                               (7.14)

Введём в рассморение величину

,                                                                 (8.14)

которая  является определителем матрицы квадратичной формы

, входящей в общее уравнение (3.14) кривой второго порядка. Эта величина  не меняется при преобразовании координат на плоскости, поэтому её называют инвариантом кривой второго порядка..

При линейном ортогональном преобразовании переменных на плоскости , соотвествующем переходу от ортонормированного базиса к ортонормированному базису, состоящему из собственных векторов  матрицы S,

совершается переход по формуле (9.13) от матрицы S к диагональной матрице

, где - собственные числа матрицы S. Этот переход совершается с помощью ортогональной матрицы , , преобразования переменных: . В результате этого  квадратичная форма  =  приводится к каноническому виду  + . При переходе от матрицы S к диагональной матрице B  величина  запишется в виде: = . На основании этого имеет место

Теорема 1.14. Уравнение (1.14) всегда определяет либо окружность при = , либо эллипс при >0, либо гиперболу при <0, либо параболу при

=0. При этом воможно вырождение для эллипса (окружности) в точку или мнимый эллипс, для гиперболы возможно вырождение в пару пересекающихся прямых, а для параболы - в пару параллельных прямых.

Эта теорема позволяет установить тип кривой второго порядка, не ипользуя переход к её каноническому виду. А само преобразование кривой второго порядка к каноническому виду производят по следующему общему правилу:1) находят то линейное преобазование координат, которое позволяет привести квадратичную форму  старших членов уравнения кривой к каноническому виду, и выполняют затем в уравнении кривой соответствующую замену переменных. В результате этого преобразования из уравнения кривой исчезают члены с произведениями координат;

2) совершая  после  этого параллельный  перенос   новых осей координот , приводят в итоге уравнение кривой к требуемому каноническому виду.

Пример1.14. Установить тип кривой и привести её уравнение

Решение. В данном случае, согласно формуле (8.14), =5 8 - =36>0, т.е. это кривая эллиптического типа. Здесь матрица . Приведём её к диагональному виду. Для этого составим характеристическое уравнение этой матрицы:

, т.е. .

Вычисляем её собственные числа   Для нахождения соответствующих им собственных векторов запишем ОСЛАУ:

Полагая здесь  для определения соответствующего собственного вектора  получаем систему уравнений

Отсюда . Полагая находим  и = .Нормируя этот вектор, получим его орт-вектор . Полагая , получаем из ОСЛАУ для определения второго собственного вектора систему уравнений

Отсюда имеем . Полагая , находим = . Нормируя ,

получим его орт-вектор .

Векторы и  ортогональные, т.к. их скалярное произведение ( )=0.

Используем ортонормальные собственные векторы и для построенияортогональной матрицы  (, ) преобразования  координат:

Отсюда получаем формулы ортогонального преобразования в координатной форме при переходе в Е² к ортонормированному базису из собственных векторов матрицы S:

Найденные  для  и  выражения, подставим в общее уравнение кривой:

-

-32

Откуда после раскрытия скобок и приведения подобных членов получим

4

Дополним до полных квадратов выражения в скобках:

или

Окончательно получим

       

Произведём параллельный перенос осей координт  , полагая

.

Получим в результате каноническое уравнение кривой  в системе координаи  с началом в точке :

4 ,

где коэффициенты при квадратах переменных есть собственные числа матрицы

S. Разделив обе части этого уравнения на 36 получим в итоге каноническое уравнение эллипса в системе координат :

       

с полуосями a =3 и b =2, как это следует из уранения (5.14) эллипса.

Пример2.14 выяснить характер кривой:

Решение. Здесь с учётом формулы (8.14) нахдим =9 16 - =0,т.е. это кривая параболического типа. Матрица из коэффициентов квадратичной формы . Составляем характеристическое уравнение этой матрицы:

или т.е.  - собственные числа.

Для нахождения соответствующих этим числам собственных векторов матрицы S запишем ОСЛАУ вида:

Полагая , получаем систему уранений

Решая эту систему, находим собственный вектор  матрицы S, а при  получаем из ОСЛАУ систему уравнений

Из этой системы находим второй собственный вектор .Нормируя эти собственные векторы получим ортонормированный базис в Е²  из ортов-векторов и ,т.к. скалярное произведение их ( )=0.

Ортогональная матрица  (, ) преобразования координат при переходе к этому базису имеет вид , .Поэтому формулы преобразования координат запишутся в виде:

Перепишем данное уравнение кривой в виде

Подставляя полученные значения  и   в это уравнение, найдём уравнение кривой отнсительно прямоугольной декартовой системы координат  в Е² :

25

Приведя подобные члены и сократив на 25, приходим к уравнению

Перепишем это уравнение в виде . Для этого произведём па-

параллельный перенос системы координат  , приняв за новое начало коор-

динт точку  В итоге получим каноническое уравнение заданной кривой

:       .

в новой системе координат . Это есть каноническое уравнение  (7.14) в системе координат  параболы с параметром p =5.