Линейные комбинации векторов. Базис векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств.

Рассмотрим совокупность векторов , линейного векторного пространства Х.  Под линейной комбинацией этих векторов понимается вектор

, ,

где , - произвольные вещественные числа, , .

Когда все числа , то вектор . Если в Х выбрать некоторое множество, состоящее из векторов , этого пространства, то получим подпространство  в Х, которое порождается этим множеством векторов. Если это подпространство совпадает с самим пространством Х, то говорят, что такое множество векторов порождает само пространство Х. В этом случае любой вектор из Х  является линейной комбинацией этого множества векторов и при этом вектор-нуль  всегда принадлежит подпространству . Например, система векторов , порождает арифметическое пространства А ⁿ  и представляет любой вектор  в виде линейной комбинации:

,

этих векторов, где  - вещественные числа. Множество всех линейных комбинаций , векторов , линейного подпространства в Х называется линейной оболочкой этих векторов .

   Примером линейного подпространства является множество матриц вида

, ,

в линейном пространстве матриц .

В линейном арифметическом пространстве А ⁿ  совокупность всех решений ОСЛАУ (1.4) является подпространством пространства А ⁿ и его размерность, в силу Теоремы 1.5, равна числу k = n - r, где r – ранг матрицы данной ОСЛАУ.

Определение1.7. Векторы , из векторного пространства Х  называют линейно независимыми, если равенство

                                                                (1.7)

выполняется тогда и только тогда, когда все числа . В противном случае, если равенство (1.7) выполняется, когда среди чисел , существует хотя бы одно число , векторы , называют линейно зависимыми. Если векторы , линейно зависимы, то один из них является линейной комбинацией остальных векторов. Например, если в (1.7) число , то имеет место равенство

.                                         (1.7)*

Определение2.7. В общем случае некоторое векторное пространство X называется конечномерным, а число n его размерностью, если в этом пространстве существуют n линейно независимых вектора, а любые n + 1 векторов из этого пространства являются линейно зависимыми. Если же в векторном пространстве X имеется линейно независимая система из любого числа векторов, то такое пространство называют бесконечномерным.

Определение3.7. Система из n линейно независимых векторов , в n - мерном  векторном пространстве   называется   базисом   этого пространства.

Если - произвольный вектор в , то векторы  и базисные векторы , линейно зависимы в , т.к. число их равно n + 1, и потому справедливо равенство вида

= .                                                                (2.7)

Вещественные числа , однозначно определяются заданием вектора  и базиса . В самом деле, пусть наряду с (2.7) имеется другое разложение вектора  по базису  :

= .                                                                (3.7)

Вычитая из (2.7) равенство (3.7), получим равенство:

= ,

откуда в силу линейной независимости векторов , базиса пространства  получаем равенства = , , т.е. , .

Числа , называют координатами вектора    в базисе  векторного пространства , а слагаемые в правой части равенства (2.7) компонентами этого вектора .

  Замечание1.7. Рассмотрим векторы   = (a _{1 i}, a _{2 i},…, a _ni), i = 1, 2,…, n, в А ⁿ и запишем для них равенство (1.7).Оно равносильно ОСЛАУ вида

                                                         (4.7)

Однородная система (4.7) имеет единственное нулевое решение ,

тогда и только тогда, когда её определитель

                                                   (5.7)

 

 

Таким образом, неравенство (5.7) даёт условие линейной независимости векторов   = (a _{1 i}, a _{2 i},…, a _ni), i = 1, 2,…, n, пространства А ⁿ ..и, наоборот, если = 0, то ОСЛАУ (4.7) имеет хотя бы одно решение , и значит эти векторы линейно зависимы.

Замечание 2.7. Из (1.7)* следует, что если два вектора  и  в пространстве А ⁿ  линейно зависимы, то их координаты пропорциональны, т.е. , где . Верно и обратное, что если

координаты этих векторов пропорциональны, то они линейно зависимы, например, векторы  и  в А ³ линейно зависимы, потому что координаты их пропорциональны. Коэффициент их пропорциональности равен числу =2.

  Замечание 3.7. Для любого векторного пространства его размерность -число n   совпадает с числом базисных векторов   этого пространства.

Замечание4.7. Пусть - какое – либо решение ОСЛАУ (1.4). Если записать его в виде вектора , то совокупность линейно независимых решений , где k = n - r, является фундаментальной системой решений (см. § 5), т.к. любое решение ОСЛАУ (1.4) можно представить в виде линейной комбинации этих векторов . Например, в примере 1.5 векторы

=(14, 11,-2,1,0,0)

=(-4, -3, 0,0,1, 0)

=(1,  0, 1, 0, 0, 1)

могут быть приняты за базисные векторы подпространства решений, размерность которого равна  числу k = n - r =6-3=3,т.к. они образуют фундаментальную систему решений для данной ОСЛАУ. Поэтому общее решение этой системы уравнений определяется вектором

= .

 Замечание5.7. Из Замечания 2. 7 и формулы (6.6) следует, что два вектора  и  евклидова пространства E ⁿ линейно зависимы тогда и только тогда, когда для них выполняется равенство вида  ,т.е. угол между  и равен нулю. Поэтому линейно зависимые векторы  и  евклидова  пространства   E ⁿ  , называют  также параллельными и пишут .

  Замечание 6.7. В пространстве А ⁿ  существует базис , ,…, , составленный из единичных и взаимно ортогональных векторов , . Его называют ортонормированным базисом. Согласно   Замечания1. 6 векторыортонормированный базиса в евклидовом пространстве E ⁿ  можно выбрать с началом в точке О. Такой набор (О , ,…, ) называют прямоугольной декартовой системой координат в E ⁿ с началом в точке О.

   Пример1.7. Разложить вектор = (4,-15) по векторам = (2,0), = (0,3) пространства А²  .

   Решение. Согласно Замечание3.7 базис векторного пространства А²  состоит ровно из двух векторов. Покажем, что за базисные векторы в А²   можно взять эти данные векторы  и .Для этого надо установить, что они линейно независимы. Эти векторы будут линейно независимы, если для них выполняется равенство вида (1.7):  +  =  , когда оба числа и  раны нулю одновременно. Запишем это равенство в матричном виде:

 

 +  =  или  +  = .

Используя правило сложения матриц, получим равенство

 = , откуда следует, что = 0 и  = 0.Следовательно, оба рассматриваемых вектора и  в векторном пространстве А²   линейно независимы и потому образуют базис в А²   .Разложим вектор по этому базису , .Получим, что = = + . Запишем это равенство в виде равенства векторов-столбцов:

 =  +  или  = .

На основании определения равенства матриц получаем отсюда СЛАУ:

       

Решая эту систему линейных уравнений методом Крамера или Гаусса, получим

= 2, = -5, и потому искомое разложение вектора  по данному базису

 ,  в векторном пространстве А²   имеет вид = 2  + (-5) .

Линейную независимость данных векторов и  можно было установить и на основании Замечание1.7. Для этого необходимо вычислить определитель, составленный из координат этих векторов: . Так как. этот определитель не равен нулю, то векторы = (2,0), = (0,3) линейно независимы.

Пример2.7. Разложить элементы (векторы) линейного пространства Х многочленов первой степени (см. пример 1.6) по его векторам (геометрически они представляют собой две пересекающиеся прямые на координатной плоскости ).

Решение. Покажем вначале, что эти векторы линейно независимы. Для этого запишем для них равенство вида (1.7):  или +  =

= .Отсюда получим равенство , которое выполняется для всех . Поэтому в силу теоремы алгебры о единственности многочленов получим систему равенств:

Из последнего уравнения находим,что .Подставляя это значение для в первое уравнение, получим равенство 13 , откуда имеем = 0 и значит и =0. А это означает в силу Определение 1 .7., что данные векторы и линейно независимы. Значит и  образуют базис в линейном пространстве Х многочленов первой степени и потому размерность этого пространства равна 2. Следовательно, любой вектор из Х можно на основании (2.7) разложить по векторам этого базиса: . Подставляя в это равенство вместо и  их выражения, получим равенство =  или

, которое выполняется для всех .Поэтому получим СЛАУ вида , которое имеет единственное решение . Это координаты вектора , в данном базисе и  линейного пространства Х. Например, вектор  имеет координаты (1,-1), а вектор  - координаты (2,0) в этом базисе.

Рассмотрим два некоторые линейные пространства X и Y, элементы которых будем обозначать через x, y, z,… и , соответственно.

Определение4.7. Линейные пространства X и Y называют изоморфными, если между их элементами x, y и  можно установить взаимно однозначное соответствие ; , при котором , ( -любое вещественное число, )

Если = 0, то получим, что  или , т.е. при изоморфизме линейных пространств их нулевые элементы соответствуют друг другу.

Справедливо

Утверждение1.7 Любые два изоморфных между собой пространства имеют одинаковое число базисных векторов, т. е. одну и ту же размерность.

Доказательство Понятие изоморфизма распространяется на любое конечное число элементов пространств X и Y:

.

Отсюда следует, чтопри изоморфизме линейных пространств линейно независимые системывекторов одного пространства соответствуют линейно независимым системам векторов другого и, следовательно, любые два изоморфных между собой пространства имеют одинаковое число базисных векторов, т. е. одну и ту же размерность.

    Верно и обратное

Утверждение 2.7. Любые два конечные линейные пространства  и

одинаковой размерности   n - изоморфны.

Доказательство. Достаточно установить изоморфизм для каждого из них, например для , с n -мерным арифметическим пространством А ⁿ  .Пусть

- произвольный базис пространства . Тогда каждый вектор можно в силу (2.7) однозначно записать в виде

= .

Поставим ему в соответствие вектор , который имеет те же координаты, что и вектор , т.е. .Тогда получаем взаимно однозначное соответствие между элементами линейных векторных пространств А ⁿ  и .Покажем, что это соответствие является изоморфизмом между А ⁿ  и .Для этого возьмём ещё один вектор = в пространстве .Так как при сложении векторов в линейном пространстве  соответствующие их координаты складываются:

,

а при умножении вектора на вещественное число  все координаты его умножаются на это число:

,

то получим соответствия , т.е. между множествами всех элементов векторных пространств  и А ⁿ установлено взаимно однозначное соответствие,сохраняющее линейные операции. А это означает, что  и А ⁿ изоморфны между собой.

Из доказанных утверждений 1.7и 2.7 получается

Теорема 1.7. Для того чтобы два конечномерных векторных пространства были изоморфны между собой, необходимо и достаточно, чтобы они имели одну и ту же размерность.

Замечание 7.7. С помощью теоремы 1.7 легко устанавливается изоморфизм конечномерных векторных пространств. Из этой теоремы следует также, что с точностью до изоморфизма представляет интерес только одно какое либо n –векторное пространство, например, А ⁿ. Аксиоматическое определение линейного векторного пространства Х имеет преимущество в том,что оно непосредственно выделяет свойства векторов (элементов), которые не зависят от выбора базиса, например, равенство нулю всех координат вектора есть свойство самого вектора, не зависящее выбора базиса (см. замечание1.6).

 

   Пример3.7. Установить изоморфизм линейных пространств R и , приведённых в примере3.6.

Решение. Так как  ,  то . Поэтому между элементами линейных пространств R и  установлено взаимно однозначное соответствие, а с помощью равенств ,  и

 устанавливаются взаимно однозначные соответствия:  и . А это означает, что R и - изоморфные пространства.

§8.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

Рассмотрим в линейном пространстве   А ⁿ  два базиса: , ,…,  (старый) и  (новый). Выразим каждый вектор нового базиса через векторы старого базиса по формуле (2.7). Получим систему равенств:

                                                      (1.8)
Матрица

S* =

называется матрицей перехода от старого базиса к новому базису. Возьмём в пространстве   А ⁿ   любой вектор  и запишем по формуле (2.7) его разложения по векторам старого и нового базиса:

    =                                                                   (2.8)

и

=                                                                (3.8)

Из формул (2.8) и (3.8)  получаем равенство вида

 =                                     (4.8)

Подставляя в правую часть равенства (4.8) разложения  по векторам старого базиса по формулам (1.8), получим, в силу линейной независимости  векторов старого базиса, формулы вида

                                                             (5.8)

Формулы (5.8) называют формулами преобразования координат вектора  при переходе от старого базиса , ,…,  в пространстве   А ⁿ  к новому базису . Из формул (5.8) видно, что эти преобразования координат вектора  осуществляется при помощи матрицы S = (S *) ^T, столбцы которой являются координатами в формулах перехода (1.8) от старого базиса к новому базису.

Если записать координаты вектора  в старом и новом базисах в виде векторов – столбцов, то (5.8) можно кратко записать в матричной форме

                                                                                        (5.9)

  Пример1.7. Дан вектор =  в линейном пространстве А⁴  .Найти разложение этого вектора по новому базису , если

        

   Решение. Выпишем матрицу перехода от старого базиса к новому базису:

         S ^* =  

Столбцы этой матрицы являются коэффициентами в формулах (5.8) преобразования координат вектора при переходе от старого базиса к новому базису. Поэтому получаем формулы преобразования координат этого вектора по формуле (5.9):

                                                                      (6.8)

Так как по условию задачи имеем, что , то подставляя эти значения в правые части системы линейных алгебраических уравнений (6.8) и решив полученную СЛАУ, находим, что . Потому для вектора  в новом базисе  получим разложение вида

 =  =

§9.Линейные преобразования (операторы).

Принимая во внимание, что все линейные пространства изоморфны арифметическому пространству А ⁿ (см. Замечание 7.7)  , выберем для дальнейших рассуждений два конечных линейных пространства: А ⁿ  размерности   n и А ^m размерности m.

Определение 1.9. Если задан закон или правило, по которому каждому вектору  пространства  : А ⁿ  ставится в соответствие единственный вектор  пространства   А ^m, то говорят, что задан оператор (преобразование) , действующий из А ⁿ  в А ^m  и пишут =  или  :  А ⁿ  А ^m  либо .

Вектор =  называется образом  вектора  ,  а сам вектор   прообразом вектора .

Определение 2.9. Оператор  называют линейным   и пишут , если для любых двух векторов  и  пространства  : А ⁿ   и любого действительного числа , , выполняются соотношения:

1. ;

2. .

Линейное преобразование называется тождественным, если = , т.е. оно любой вектор  преобразует в самого себя. Тождественное линейное преобразование обозначается через   Е. Таким образом Е = .

Замечание.1.9. Преобразование = , где , является линейным. В самом деле, имеем  = + = +  и

= , т.е. оба условия, определяющие линейное преобразование, оказываются выполненными. Рассмотренное преобразование называется преобразованием подобия.

Рассмотрим СЛАУ вида (1.3):

                                                   (1.9)

которое задаёт линейное преобразование координат вектора =

линейного пространства   А ⁿ  в координаты вектора =  из пространства А ^m . Это преобразование задаётся матрицей

А=  = = (а _ij)                                             (2.9)

с вещественными коэффициентами a_jj  ÎR.

      Справедливо

    Утверждение 1.9. Каждая матрица А= =  размера , определяемая таблицей (2.9) с вещественными коэффициентами, при заданных базисах в линейных пространствах А ⁿ и А ^m порождает линейное преобразование , действующее из А ⁿ в А ^m .

    Доказательство. Выберем в линейном пространстве   А ⁿ некоторый базис , ,…, , а в А ^m  произвольный базис .Тогда преобразование (1.9) каждому вектору =  из А ⁿ даёт возможность сопоставить вектор =  пространства А ^m , координаты которого , вычисляются по формулам (1.9).А это означает, что преобразование (1.9), заданное матрицей (2.9), определяет некоторое отображение , которое относит вектору из А ⁿ  вектор =  в пространстве А ^m . При этом оператор : А ⁿ  А ^m , как нетрудно видеть, обладает свойством линейности:

    =

для любых векторов .

Замечание.2.9. Согласно формуле (2.3) линейное преобразование (1.9) можно записать в матричной форме

 ,                                                                                       (3.9)

где слева стоит вектор-столбец , а справа находится произведение матрицы   А, заданной в виде таблицы (2.9), на вектор- столбец . В самом векторном равенстве =  справа стоит образ элемента  при действии на него отображения :   А ⁿ  А ^m, т.е. , а слева его краткое обозначение  или равный ему элемент пространства .

Верно и обратное

Утверждение2.9. Для произвольного линейного оператора