Линейные пространства. Скалярное произведение двух векторов .Длина вектора. Неравенство Коши – Буняковского.

  Согласно определения6.1.. матрица А = =  называется вектором-строкой. Действительные (вещественные) числа  называют координатами вектора , а число n - его размерностью. Множество А ⁿ всех   n – мерных векторов называется n – мерным векторным (арифметическим  или числовым) пространством. Над векторами, как и над матрицами, можно производить линейные операции:1) сложение двух векторов  = (a ₁ + b ₁ , a ₂ + b ₂ ,…, a_n + b _n) и 2) умножение вектора  на вещественное число ÎR, т.е.  = , которые обладают свойствами линейности (1.1) для матриц. Поэтому векторное пространство   А ⁿ называют также линейным пространством. При этом существует единственный нулевой вектор , удовлетворяющий условию + (- ) = .

Имеются многие типы математических объектов различной природы, для которых можно тоже каким либо способом ввести операции сложения их элементов и умножения на число, не выводящие за пределы исходного множества. С учётом этого даётся следующее

Определения1.6. Множество X  элементов , в котором 1)для любых двух элементов и  определены операция сложения  и 2)для любого элемента  и любого действительного числа  определено произведение , обладающие свойством линейности:

1. ;

2. ;

3.существует такой элемент (нуль-элемент), что  для любого ;

4.для каждого элемента существует элемент такой, что ,т.е. -противоположный элемент для ;

5.1 = ;

6. ;

7. ;

8.

называется линейным (абстрактным) векторным пространством. Элементы из  называют также векторами,а числа из вещественного множества  - скалярами.

На основании этих свойств получаются непосредственно следующие следствия:

1.В каждом линейном пространстве Х существует только один нуль- элемент .

2.Для каждого элемента  существует только один противоположный элемент .

3.Для каждого элемента  выполняется равенство .

4.Для любого  и  выполняется равенство .

5.Из равенства  следует либо  или .

6.Элемент является противоположным для элемента .

Покажем, например, справедливость свойства 2.Допустим, что имеется другой противоположный элемент t   для элемента , т.е. . Тогда,прибавляя к обеим частям этого равенствавектор , получим:

 или , откуда вытекает, что  и, следовательно, .

   Пример1.6. Многочлены 1-ой степени Р = ax + b, где   образуют линейное пространство Х, для которого =

  Пример2.6 Множество матриц , относительно операций сложения и умножения на число образует линейное пространство в силу свойства линейности этих операций (1.1).

   Пример3.6 Пространство R, элементами которого являются всевозможные дифференцируемые функции  обращающиеся в нуль при t =0, и пространство , элементами которого являются производные функций, принадлежащих пространству R, т.е , где , являются линейными пространствами.

     В векторном пространстве А ⁿ можно ввести, на основе правила  умножения матриц, правило умножения двух векторов и  по формуле:

= = = = .

Отсюда в силу определения 7.1 одноэлементной матрицы получаем формулу вида:

   () = = ,                                                   (1.6)

которую называют скалярным произведением двух векторов в А ⁿ. Из формулы (1.6) вытекают свойства скалярного произведения:

  1. () = ();

  2. , где ;

  3. ;

  4. >0;

   5.  для любого вектора .

Определение2.6. Векторы  и  называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: = 0.

  Определение3.6. Длиной или модулем вектора  называется величина

                                            (2.6)

Если   - любое вещественное число, то  для любого .

Определение4.6. Вектор  называется нормированным или вектором единичной длины, если его модуль = 1.

Чтобы нормировать вектор  достаточно умножить его на вещественное число  . В результате получим орт-вектор ⁰  для   вектора .

Определение5.6. Попарно ортогональные и нормированные векторы называют ортонормированными.

  Например, такими являются векторы  =  ,  =  ,…,  = = .

В пространстве А ⁿ по формуле

= =                          (3.6)

можно ввести расстояние между векторами  и  или евклидову метрику, которое удовлетворяет трём аксиомам метрического пространства:

   1.  = 0 тогда и только тогда, когда = ;

  2.  = - свойство симметрии;

   3.  - неравенство треугольника.

  Определение6.6. Векторное пространство А ⁿ с евклидовой метрикой (3.6) называется n – мерным евклидовым пространством E ⁿ.

Замечание1.6. По формуле (3.6) находится расстояние между точками M ₁ (a ₁, a ₂ …, a _n) и   M ₂ (b ₁ , b ₂ ,…, b _n) в евклидовом пространстве E ⁿ, в котором введена прямоугольная декартова система координат Ox ₁ x ₂ … x _n и, в частности, вычисляется расстояние между точками на обычной плоскости E ²  или в трёхмерном пространстве E ³  .Из форму (2.6) и (3.6) следует также, что - = , где вектор   геометрически представляет собой направленный отрезок прямой с началом в точке M ₁ (a ₁, a ₂, …, a _n) и  с концом в точке M ₂ (b ₁ , b ₂ ,…, b _n) в евклидовом пространстве E ⁿ, а сам вектор = есть радиус – вектор точки М₁ В частности, если начало и конец вектора  совпадают, то имеем нуль-вектор = = (0,0,…,0).

  Замечание2.6. Рассмотрим справедливое при любом  неравенство , где  и векторы евклидова пространства E ⁿ. Возводя левую часть его в квадрат, получим неравенство вида

          .                                                          (4.6)

Для того, чтобы неравенство (4.6) имело место, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие  или

                                .                                            (5.6)

Неравенство (5.6) называется неравенством Коши - Буняковского. Оно выполняется для любых векторов пространства E ⁿ, в котором введено скалярное произведение двух векторов. Из неравенств (2.6) и (5.6) следует, что . На основании этого неравенства вводится угол  между векторами  и   евклидова пространства E ⁿ по формуле

                                  ,                                            (6.6)

где . Если  и - ненулевые векторы, т.е.  и , а ,

то из (6.6) вытекает, что скалярное произведение = 0. Поэтому говорят, что векторы  и ортогональны в евклидовом пространстве E ⁿ и пишут .

   Пример4.6 Даны векторы  в евклидовом 4-мерном пространстве E ⁴  .Найти скалярное произведение этих векторов, длины их, расстояние , угол  между ними и орт – вектор ⁰ для вектора ..        Решение. На основании выше данных определений в §6 находим:

1).скалярное произведение = 1+4 0+1 3+0 5=5;

2)длины  и  векторов

и ;

3) расстояние  =  = ;

4) по формуле (6.6)полчаем, что  =  ,т.е. ;

4)орт-вектор ⁰ = .

 

Пример5.6 Найти в пространстве E ³ вектор с началом в точке M ₁ (2,-4, 3) и концом в точке M ₂ (3,7,1).

Решение. На основании Замечания 1.6. получаем  в E ³  вектор = (2- 3, -4-7, 3-5)= (-1,-11, 2).