Рациональное проектирование баллона – нитяная аналогия

Более простая схема расчета намоточных сосудов давления состоит в использовании трёхдопущений, так называемой, «нитяной аналогии»:

1. Волокна работают только на растяжение и несут всю нагрузку, а матрица не участвует в распределении напряжений.

2. Все волокна равнонагружены!

3. Разрушение конструкции происходит в результате достижения во всех волокнах (одновременно – согласно второму допущению) предельного напряжения σ*.

Допущение 2 – очень «сильное», оно ограничивает рассматриваемые системы намотки только классом равнонагруженных: нет лишних волокон, все работают на пределе. Таких конструкций в реальности не существует, да и не должно существовать. Разрушение в них подобно взрыву – все волокна рвутся одновременно, но эту модель можно использовать для инженерных оценок. На примере «нитяной аналогии» легко пояснить понятие «рациональногопроектирования».

 Часто используемый термин «оптимальное проектирование» – в широком смысле слова означает создание наилучшей конструкции. В более узком смысле оптимальным проектированием традиционно называют процесс нахождение в допустимой области пространства параметров проектирования, ограниченной силовыми, кинематическими, критериальными, технологическими и др. условиями, многомерного вектора параметров проектирования, реализующего минимум некоторой функции цели (например, веса, стоимости или некоторой свертки этих или других критериев). Обычно задачи оптимизации решаются методами нелинейного программирования с применением «штрафных» функций (penalty - function).

Более современное представление о многокритериальной оптимизации при системе противоречивых ограничений опирается на понятие парето-оптимальных, неулучшаемых решений, когда строится, так называемое, паретово множество проектов, за пределамикоторого улучшение проекта по одному параметру приводит к его недопустимому ухудшению по другому (другим) параметру. Далее проекты, принадлежащие паретову множеству, сравнивают простым перебором, но чтобы этот перебор был возможен, число проектов в паретовом множестве регулируют процессом «уступок», снижением требований по различным ограничениям и критериям.

Проектирование называют рациональным, когда заранее заданы некоторые связи параметров, например, равнонапряженность всех волокон. Это до чрезвычайности упрощает поиск оптимума. По сути, это нахождение условного оптимума – не вершины горы, а максимально высокой точки по некоторому сечению. Можно найти лучшего штангиста среди математиков и лучшего математика среди штангистов. Не обязательно эти люди совпадают и уж совсем не обязательно, что они абсолютно лучшие в своём разряде. Но в простом случае равнонапряженных волокон мы получаем некий предельный оптимум: ни одно волокно нельзя добавить – оно окажется недогруженным, и ни одно волокно нельзя убрать – напряжения в оставшихся превысят предел прочности.

В качестве примера рассмотрим схему армирования цилиндрической части баллона двумя семействами волокон: 1 - с ориентацией  и с толщиной слоя h ₁ и 2 -с ориентацией , с толщиной h ₂. Общая толщина стенки  Средние осевые и окружные напряжения

;

(4.4.23)

можно в критическом состоянии выразить через предельное напряжение вдоль волокон σ *, суммируя усилия, создаваемые в двух семействах слоёв,

(4.4.24)

где обозначено

Два уравнения (4.4.24) содержат четыре параметра проектирования, два из которых можно найти после задания двух других произвольно (?). Вопрос (?) означает, что мы хотим убедиться, можно ли действительно задавать любые значения углов. Предположим, что  Остается два параметра, которые находятся из (4.4.24):

Выбирая углы α ₁, α ₂, равные (+ 30/90), (+ 45/90), (0/ + 60), мы убедимся, что суммарная толщина стенки остаётся прежней . Такой же останется алгебраическая сумма толщин и при комбинации углов (+ 60/90), (0/ + 45) или (0/ + 30), только одна из толщин окажется отрицательной, что означает: нельзя обеспечить равновесия по двум напряжениям, если два семейства волокон имеют угол ориентации оба меньше или оба больше, чем  По сути, не толщина – отрицательна, а напряжения в этих, «неудачно» выбранных семействах, должны стать сжимающими для обеспечения равнонапряженности волокон.

Этот пример показывает, что любой рациональный проект из равнонапряженных семейств волокон обеспечивает одинаковую массу конструкции при заданных условиях нагружения; выбирать наилучший остается из технологических или конструктивных соображений.

Простые примеры композитного проектирования, приведенные в данном разделе 4.4, отражают возможность оптимизировать конструкцию не только за счет формы, но и путём подбора структуры и углов армирования. Этими приёмами широко (и неизбежно) пользуется  Природа, создавая конструкции, подверженные комплексному нагружению. В стволе дерева или бамбука существуют волокна, ориентированные не только вдоль ствола, но и под значительными углами к оси. Рациональный выбор этих углов и доли разориентированных волокон позволяет стволу одинаково хорошо сопротивляться и изгибу (наилучший угол 0⁰), и кручению (наилучший угол 45⁰). Соотношение между долями волокон с разными углами зависит от асимметрии кроны. Если она симметрична, а ветра незначительны, то достаточно прямослойной структуры (мачтовые сосны). При значительной асимметрии кроны и сильных (горных) ветрах структура вынужденно становится свилеватой, косослойной.

Один из примеров выбора структуры армирования для одновременного повышения сопротивления изгибу и кручению рассмотрен в следующем разделе 4.5.