Оптимальная намотка труб различного назначения

Оптимальная намотка труб различного назначения

 

С целью иллюстрации выбора совершенно различных оптимальных углов намотки для простейшего композитного элемента - цилиндрической трубы- в зависимости от условий её нагружения ниже рассмотрены: торсион (п. 4.4.1), карданный вал (п. 4.4.2) и баллон для газового топлива (п. 4.4.3).

Торсион- накопитель энергии

Стальной цилиндрический торсион, накапливающий упругую энергию при кручении изаменяющий или дополняющий пружины и рессоры,используется конструкциях некоторыхавтомобилей в качестве упругого элемента подвески.Онудобен тем, что может располагаться вдоль всей длины автомобиля, не требуя дополнительных габаритов для прогибов, в отличие от рессор или пружин.

а)	б)

Рис. 4.4.1. Общий вид трубчатого торсиона – а и размеры трубы - б

 

При проектном расчете находятся необходимые размеры торсионаизусловий выполнения требований Технического задания:

1. по жесткости , т. е. по заданной связи вертикальной силы Р, создающей через рычаг крутящий момент М (рис. 4.4.1 ,а), с перемещением колеса, переходящим в общий угол закручивания торсиона: , где погонный угол закручивания, L – длина торсиона.

2. по сохранению прочности при предельном крутящем моменте .

Выразим крутящий момент через заданную жесткость упругой трубы :

(4.4.1)

где G – модуль сдвига;  – момент инерции при кручении; D, d – внешний и внутренний диаметры трубы.

Запишем условие прочности в виде сравнения наибольшего и допустимого касательных напряжений в трубе:

(4.4.2)

Из равенств (4.4.1) и (4.4.2)для заданных жесткости  и предельного момента  можно найти необходимую длину, диаметр и массу m торсиона в виде сплошного цилиндра:

(4.4.3)

Для торсиона в виде композитной трубы соотношения для жесткости ипредельного момента примут вид:

;

(4.4.4)

Из (4.4.4) требуемые размеры и масса:

(4.4.5)

Торсион изстеклопластика – лучший накопитель упругой энергии

Оценим преимущество стеклопластиковой трубы по сравнению со стальным торсионом.

Свойства стали: , прочность на сдвиг при кручении  плотность Для стеклопластика с намоткой (+ 45): ,

Таким образом, при выполнении всех требований сплошной композитный торсион даётснижение массы по сравнению со стальным в 13 раз привозможном уменьшении длины вдвое для того жедиаметра, а применение трубы по сравнению со сплошным цилиндром позволяет в пределе  ещё вдвое повысить весовую эффективность, и стеклопластиковая труба может дать выигрыш в массе примерно в 25 раз по сравнению со стальным цилиндром.

Быстро вращающийся вал

В отличие от цилиндрической частибаллона (п. 4.4.3),подверженной двухосному растяжению, или торсиона (п. 4.4.1), накапливающего упругую энергию,в быстровращающихся деталях типа карданного вала принципиальное значение имеет высокий продольный, удельный модуль упругости. Основной эффект от применения высокомодульных углепластиков для быстровращающихся валов состоит в возможности создать длинный карданный вал без промежуточной опоры, а также в снижении его массы за счет оптимизации углов намотки волокон. Наиболее сложным остается вопрос крепления концевых металлических вилок, лимитирующего несущую способность вала попередаваемому крутящему моменту.

Основные требования к валу

Расчет вала связан с удовлетворением двум основным требованиям: по допустимому числу оборотов  и по максимальному передаваемому крутящему моменту При этом, если критический крутящий момент легко повысить,увеличив толщину стенки вала, то собственная частота поперечных колебаний, которая определяет критическое число оборотовдля заданных длины и диаметра вала, зависит от удельного модуля упругости, т. е. от свойств материала, которые нельзя конструктивно улучшить, а можно лишь выбрать наиболее подходящий композит, каким и является углепластик. Сформулируем основные прочностные требования к карданному валу.

1. По критической частоте вращения  которая совпадает с собственной частотой поперечных колебаний по первой моде. Для трубы с внешним D и внутренним d диаметрами, длиной L допустимое число оборотов, оцененное по методу Релея – Ритца,выражается в виде:

(4.4.8)

где Е _z - продольный модуль Юнга[Па=н/м²=кг м^-1 с^-2]; r – плотность[кг/м³].Безразмерный коэффициент k зависит от способа крепленияконцов вала, от срока службы,от зазоров. Его значение задаётся в технической документации и не влияет на приведенные ниже качественные рассуждения.

2. По критическому крутящему моменту, определяемому разрушением от касательных напряжений

(4.4.9)

где  толщина стенки (рис. 4.4.1, б),  (4.4.7) - прочность на сдвиг при кручении трубы в зависимости от угла (+ α) намотки волокон.

3. По критическому крутящему моменту, определяемому потерей устойчивости формы тонкостенной трубы при кручении,

(4.4.10)

где k * = 0,925 при упругом и1,03 при жестком закреплении концов (хотя такая точность в вычислении поправочного коэффициента вряд ли оправдана, если учесть степень идеализации изложенного ниже метода моделирования формы потери устойчивости трубы, Е _z, E_θ –модули Юнга в осевом и в окружном направлениях, n _zθ, n _θz – коэффициенты Пуассона.

В быстро вращающихся валах (карданный вал автомобиля – рис. 4.4.2)за счет высокого отношения продольногомодуля упругости углепластика (CarbonFRP - Е^с = 180ГПа) к плотности (r ^с = 1,5 х 10³кг/м³) можно увеличить длину L трубы карданной передачи без использования промежуточной опоры по сравнению со стальнойтрубой (Steel - Е ^s = 210 ГПа, r ^s = 7,8 10³кг/м³) в 1,5 раза при заданных частоте вращения и внешнем диаметре вала.

Рис. 4.4.2. Общий вид композитного карданного вала без промежуточной опоры

Пример выбора угла намотки по одному из критериев

Формула (4.4.10) может служить примером упрощенного поиска оптимального угла намотки α₀ волокон. Принимая допущение, что для высокомодульных волокнистых композитов при повороте системы координат можно ограничиться лишь первым членом в формуле преобразования тензора модулей упругости (1.1.28), получаем  где Е (0)– модуль упругости однонаправленного композита вдоль волокон. Наибольший критический момент  соответствуетиз (4.4.10) максимуму произведения  и условие равенства нулю производнойот этого произведения приводит к простому уравнению  откуда

Разумеется, здесь для наглядности не учитывались зависимости коэффициентов Пуассона от угла намотки волокон, но смысл этого примера заключается не в точном вычислении рационального угла армирования, а в попытке объяснить, почему нельзя найти наилучший угол армирования для противоречивых критериев. По условию динамической устойчивости(4.4.8) наилучший угол намотки для трубы равен нулю, по условию прочности(4.4.9) – + 45⁰, по условию устойчивости формы (4.4.10) – + 52⁰ (или ближе к 90⁰, если считать точнее, с учетом изменения коэффициентов Пуассона). Какой же всё-таки угол намотки удовлетворяет всем этим противоречивым условиям и приводит к минимизации функции цели, за которую можно принять массу вала или его стоимость, или некоторую комбинацию массы и стоимости? Это и есть формулировка задачи оптимального проектирования, решаемая обычно методами нелинейного программирования.

Углепластик обладает высоким модулем упругости и его используют для выполнения условия по собственной частоте поперечных колебаний (4.4.8). Но этот материал значительно более дорогой, чем стеклопластик, который применяется для обеспечения прочности. Обычно рассматривается схема гибридного армирования трубы двумя семействами волокон: высокомодульными углеродными под углом намотки  и низкомодульными, но дешевыми, стеклянными (Glass - FRP) под углом намотки , близким к 45⁰, для обеспечения прочности на кручение.Параметров проектирования здесь четыре: углы намотки и толщины слоев углепластика и стеклопластика, а уравнений – три: (4.4.8) – (4.4.10), поэтому оптимальный набор параметров проектирования не может быть однозначно найден из решения уравнений. Поиск оптимума следует вести численно (методом штрафных функций) при ограничениях в виде неравенств, ограничивающих допустимую область в многомерном пространстве переменных проектирования.

Примеры приближенного расчета вала

Простейший вид намотки вала двумя симметричными семействами волоконтребует определение допустимого угла из условия (4.4.8) с учетом зависимости продольного модуля упругости от угла намотки (рис. 4.4.3) и необходимой толщины стенки h^c из условия (4.4.9) - с учетом зависимости прочности при кручении от угла намотки (рис. 4.4.3).

 

Рис. 4.4.3. Условные зависимостипродольного модуля упругости Е _z и прочности при кручении от угла симметричной намотки. Заштрихована область допустимых углов по критерию частоты вращения

 

Для наглядной иллюстрации рассмотрим, как можно определить необходимые толщины слоев углепластика и стеклопластика из первых двух условий: по собственной частоте и по прочности. Условие (4.4.10) легко удовлетворить, повышая толщину стенки вала, так как этот вид потери устойчивости может произойтитолько у весьма тонкостенных труб (типа алюминиевой банки для колы).

Схема армирования карданного вала выбирается следующей: внутренний слой углепластика толщиной h^c под углом намотки , внешний слой стеклопластика толщиной h^g под углом намотки . При этом угол  выбирается близким к нулю, чтобы обеспечить продольную жесткость, а для обеспечения максимальной прочности при кручении, которая для трубы с симметричными углами намотки (+ α)была оценена вп. 1.3.3выражением (4.4.7). Принимая для плотности, модуля упругости и прочности простейшие правила линейного суммирования, получаем из (4.4.8) и (4.4.9) систему двух линейных уравнений:

(4.4.11)

относительно неизвестных толщин h^с и h ^g, где a, A и верхний индекс g (glass)относятся к стеклопластику; b, B и верхний индекс c (carbon) – к углепластику,

Решение системы (4.4.11) имеет вид:

т. е. по заданным собственной частоте и критическому крутящему моменту можно найти необходимые толщины слоев стеклопластика и углепластика для выбранных углов намотки (например,

На рис. 4.4.3 заштрихована область допустимых углов намотки углепластика, который должен обеспечить высокий продольный модуль согласно требованию (4.4.8) по допустимому числу оборотов.

Баллон для сжатого газа.

Цель данного и двух предыдущих параграфов 4.4.1 и 4.4.2 -показать на простейших примерах композитной цилиндрической трубы, как разные требования приводят к различным оптимальным углам намотки: для баллона – это + 54⁰, для быстровращающегося вала – это 0, для торсиона – + 45⁰. Отметим, что для металлов задача подбора структуры материала под вид напряженного состояния вообще не может быть поставлена, однако живая Природа всегда оптимизирует структуру армирования по только Ей известным законам, которые мы пытаемся понять.

Оптимальная намотка труб различного назначения

 

С целью иллюстрации выбора совершенно различных оптимальных углов намотки для простейшего композитного элемента - цилиндрической трубы- в зависимости от условий её нагружения ниже рассмотрены: торсион (п. 4.4.1), карданный вал (п. 4.4.2) и баллон для газового топлива (п. 4.4.3).

Торсион- накопитель энергии

Стальной цилиндрический торсион, накапливающий упругую энергию при кручении изаменяющий или дополняющий пружины и рессоры,используется конструкциях некоторыхавтомобилей в качестве упругого элемента подвески.Онудобен тем, что может располагаться вдоль всей длины автомобиля, не требуя дополнительных габаритов для прогибов, в отличие от рессор или пружин.

а)	б)

Рис. 4.4.1. Общий вид трубчатого торсиона – а и размеры трубы - б

 

При проектном расчете находятся необходимые размеры торсионаизусловий выполнения требований Технического задания:

1. по жесткости , т. е. по заданной связи вертикальной силы Р, создающей через рычаг крутящий момент М (рис. 4.4.1 ,а), с перемещением колеса, переходящим в общий угол закручивания торсиона: , где погонный угол закручивания, L – длина торсиона.

2. по сохранению прочности при предельном крутящем моменте .

Выразим крутящий момент через заданную жесткость упругой трубы :

(4.4.1)

где G – модуль сдвига;  – момент инерции при кручении; D, d – внешний и внутренний диаметры трубы.

Запишем условие прочности в виде сравнения наибольшего и допустимого касательных напряжений в трубе:

(4.4.2)

Из равенств (4.4.1) и (4.4.2)для заданных жесткости  и предельного момента  можно найти необходимую длину, диаметр и массу m торсиона в виде сплошного цилиндра:

(4.4.3)

Для торсиона в виде композитной трубы соотношения для жесткости ипредельного момента примут вид:

;

(4.4.4)

Из (4.4.4) требуемые размеры и масса:

(4.4.5)