Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2021-06-23 | 186 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Формула Бернулли
Если производятся испытания, в каждом из которых вероятность появления события не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события .
Пусть производятся независимых испытаний и пусть вероятность появления события во всех испытаниях одинакова и равна (следовательно, вероятность появления противоположного события равна ). Тогда вероятность того, что событие появится ровно раз, находится по формуле:
.
Эта формула называется формулой Бернулли.
Число называется числом успехов.
Вероятности называются биномиальными вероятностями и удовлетворяют условию: .
Пример 1. Найти вероятность того, что при семи бросаниях монеты герб выпадет три раза.
Так как производятся независимые испытания (бросания монеты) и вероятность выпадения герба во всех испытаниях одинакова (она равна ), то применима формула Бернулли.
В данном случае , , , .
Значит, искомая вероятность
.
Пример 2. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна 0,7 и не зависит от порядкового номера выстрела. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах произойдет: а) не более двух промахов; б) хотя бы один промах.
а) По условию задачи успехом является не попадание, а промах стрелка, поэтому . Следовательно, .
Событие «произошло не более двух промахов» является суммой трех несовместных событий: «не произошло ни одного промаха (произошло 0 промахов)», «произошел один промах», «произошло два промаха». Значит, по теореме сложения вероятностей искомая вероятность .
Вычислим вероятности :
;
;
.
Окончательно получаем
.
б) События «произошел хотя бы один промах» () и «не произошло ни одного промаха» () являются противоположными, значит
|
.
Число , которому при заданном значении соответствует максимальная биномиальная вероятность , называется наиболее вероятным числом успехов. Число удовлетворяет двойному неравенству:
.
Пример 3. Найти наиболее вероятное число выпадений герба при 37 бросаниях монеты.
По условию, , . Тогда . Следовательно, . Полученному неравенству удовлетворяют два целых числа: , . Это означает, что наиболее вероятное число выпадений герба равно 18 или 19.
Формулы Лапласа
Если и достаточно велики, то вероятность того, что событие появится ровно раз в независимых испытаниях, находится по формуле:
, где , .
Эта формула называется локальной формулой Лапласа.
Значения функции находятся по специальной таблице (приложение 1). Функция обладает свойствами:
1. – четная, то есть для любого действительного ;
2. если , то .
Вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится не менее раз и не более раз, находится по формуле (при условии, что достаточно велики):
, где
– функция Лапласа, , .
Эта формула называется интегральной формулой Лапласа.
Значения функции находятся по специальной таблице (приложение 2). Функция обладает свойствами:
1. – нечетная, то есть для любого действительного ;
2. если , то .
Пример 4. Для данного сорта растения всхожими являются 75% семян. Найти вероятность того, что среди 1000 высеянных семян взойдет: а) 770 семян; б) 720 семян; в) от 720 до 770 семян; г) от 750 до 900 семян.
а) По условию, ; ; ; . Так как и – достаточно велики, то применима локальная формула Лапласа.
Найдем значение :
.
По таблице значений функции найдем .
Тогда вероятность
.
б) В данном случае ; ; , . Тогда
.
Так функция – четная, то .
Используя локальную формулу Лапласа, окончательно получим:
.
в) По условию ; ; ; , .
Применим интегральную формулу Лапласа.
Найдем значения и :
; .
По таблице значений функции найдем и :
.
Так как функция является нечетной, то .
|
Тогда вероятность того, что взойдет от 720 до 770 семян, будет равна .
г) Здесь ; ; ; , . Тогда
; .
По таблице значений функции найдем .
Поскольку , то .
Используя интегральную формулу Лапласа, вычислим искомую вероятность: .
Формула Пуассона
Если велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала (), то вероятность того, что событие появится ровно раз в независимых испытаниях, находится по формуле:
, где – постоянная величина.
Эта формула называется формулой Пуассона.
Пример 5. В организации 300 человек, использующих в своей работе официальный сайт организации. Сотрудники организации работают независимо друг от друга. Для каждого сотрудника вероятность того, что он в течение часа обратится к сайту, равна 0,01. Найти вероятность того, в течение часа к официальному сайту организации обратятся: а) 2 сотрудника; б) не менее 3 сотрудников.
а) По условию, , , . Сотрудники обращаются к сайту независимо друг от друга, число велико, а вероятность мала, поэтому можно применить формулу Пуассона.
В нашем случае .
Искомая вероятность .
б) События «в течение часа к сайту обратятся не менее 3 сотрудников» и «в течение часа к сайту обратятся менее 3 сотрудников» - противоположные, следовательно
.
Задачи
1. В среднем стрелок попадает в цель в 80% случаев. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в цель.
2. Найти наиболее вероятное число выпадений шестерки при: а) 46 бросаниях игрального кубика; б) 59 бросаниях игрального кубика.
3. На обслуживание автобусных маршрутов небольшого города ежедневно выходит 34 автобуса. Вероятность того, что в течение дня автобус нарушит график движения, равна 0,4. Найти наиболее вероятное число автобусов, не нарушивших график движения в течение дня.
4. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна 1/3. Найти: а) наиболее вероятное число станков, которое потребуют внимания рабочего в течение часа; б) соответствующую этому числу вероятность.
5. В течение первого месяца эксплуатации исправно функционируют 90% новых электрических лампочек. В люстру вкрутили 5 новых лампочек.Найти вероятность того, что в течение месяца: а) «сгорят» две лампочки; б) не «сгорит» ни одна лампочка; в) «сгорит» не более двух лампочек.
|
6. На автобазе имеется 10 машин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 машин.
7. Найти вероятность того, что в семье среди 6 детей: а) 4 мальчика; б) хотя бы один мальчик, если вероятность рождения мальчика принимается равной 0,5.
8. Тест состоит из 8 заданий, каждое из которых имеет четыре варианта ответа. Испытуемый выбирает ответ во всех заданиях наудачу. Найти вероятность того, что он: а) правильно выполнит половину заданий теста; б) не выполнит ни одного задания; в) выполнит хотя бы одно задание.
9. В среднем 85% граждан, взявших потребительский кредит, выполняют первый платеж вовремя. В течение месяца банк выдал потребительские кредиты 500 гражданам. Найти вероятность того, что первый платеж своевременно выполнят: а) 450 заемщиков; б) 400 заемщиков; в) 425 заемщиков; г) от 425 до 450 заемщиков; д) от 410 до 430 заемщиков.
10. Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей обувь 41-го размера потребуют: а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек; в) не более 30 человек; г) не менее 35 человек; д) 9 человек.
11. Вероятность рождения девочки примем равной 0,5. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет: а) 100 девочек; б) 90 девочек; в) 110 девочек; г) от 90 до 110 девочек; д) более 115 девочек.
12. На конференцию приглашены 75 человек, причем каждый из них прибывает с вероятностью 0,8. В гостинице для гостей заказано 65 мест. Найти вероятность того, что все приехавшие будет поселены в гостинице.
13. В страховой компании застраховано 1000 объектов недвижимости. Вероятность повреждения (требующего страховой выплаты) объекта недвижимости в течение года равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение года будет повреждено объектов недвижимости: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы один.
14. В банк прибыло 2000 стодолларовых купюр. Известно, что в среднем 99,9% купюр являются настоящими. Найти вероятность того, что среди прибывших купюр фальшивых будет: а) пять; б) не больше одной; в) не меньше двух; г) хотя бы одна.
|
15. На факультете обучается 730 студентов. Найти вероятность того, что 1 сентября является днем рождения: а) трех студентов; б) хотя бы одного студента.
16. Телефонная станция обслуживает 500 абонентов. Для любого из них вероятность позвонить по телефону в течение часа равна 0,002. Найти наиболее вероятное число звонков в течение часа и соответствующую этому числу вероятность.
17. Тигры-альбиносы составляют в природе 0,5% от общей численности популяции. Найти наиболее вероятное число альбиносов среди 600 тигров, живущих в Уссурийской тайге. Найти соответствующую вероятность.
18. Сколько раз придется бросать игральный кубик, чтобы наиболее вероятное число выпадения пяти очков было бы равно 32?
19. С помощью автоматического станка изготовлено 90 деталей. Найти вероятность того, что изготовленная деталь – первого сорта, если в этой партии наиболее вероятное число деталей первого сорта равно 82.
20. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.
21. Сколько раз с вероятностью 0,04115 можно ожидать появления события в 400 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,8?
22. В страховой компании застраховано 200 клиентов одного возраста и одной социальной группы. Для каждого клиента вероятность наступления страхового случая в течение года равна 0,01. Каждый клиент 1 января вносит 20 у.е. В случае наступления страхового случая в течение года компания должна выплатить клиенту или его наследникам 1000 у.е. Найти вероятность того, что по итогам года компания по данному виду страхования: а) получит прибыль; б) не получит убытка.
Ответы
1. 0,0512. 2. а) 7; б) 9 или 10. 3. 20 или 21. 4. а) 4; б) 0,238. 5. а) 0,0729; б) 0,59049; в) 0,99144. 6. 0,9298. 7. а) 15/64; б) 63/64. 8. а) 0,0865; б) 0,1001; в) 0,8999. 9. а) 0,00038; б) 0,00038; в) 0,04996; г) 0,49903; д) 0,7056. 10. а) 0,04565; б) 0,98758; в) 0,99379; г) 0,00009; д) 0,002275. 11. а) 0,05641; б) 0,0208; в) 0,0208; г) 0,84146; д) 0,01191. 12. 0,92647. 13. а) 0,1952; б) 0,2379; в) 0,5669; г) 0,9817. 14. а) 0,0361; б) 0,4059; в) 0,5941; г) 0,8647. 15. а) 0,1804; б) 0,8647. 16. 1; 0,3679. 17. 3; 0,2241. 18. . 19. . 20. а) вероятнее выиграть одну партию из двух; б) вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех. 21. 325. 22. а) 0,8569; б) 0,9471.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!