Интервальные оценки числовых характеристик случайной величины

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Так, выборочная средняя , найденная по выборке малого объема, может значительно отличаться от генеральной средней, то есть от математического ожидания случайной величины . Это приведет к тому, что исследователь получит неверную информацию об изучаемой генеральной совокупности. Поэтому при небольших объемах выборки используются интервальные оценки числовых характеристик случайной величины.

Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания  нормально распределенного количественного признака  по выборочной средней  при известномсреднем квадратическом отклонении  генеральной совокупности служит доверительный интервал:

, где

 – точность оценки;  – объем выборки;  – значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором .

Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания  нормально распределенного количественного признака  по выборочной средней  при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности (и объеме выборки ) является доверительный интервал:

    , где

     – точность оценки;  – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение;  – объем выборки;  – находят по специальной таблице (приложение 3) по заданным  и .

Точность оценки  определяет «широту» доверительного интервала. Надежность оценки  – это вероятность того, что неизвестное математическое ожидание  действительно находится в найденном доверительном интервале. Обычно надежность  задается заранее, причем в качестве  берут близкое к 1 число (чаще всего 0,95; 0,99; 0,999). При этом точность оценки зависит от заданной надежности: чем больше надежность, тем шире доверительный интервал (то есть тем «меньше» точность), и наоборот.

Пример 1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания  нормально распределенного признака  генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , объем выборки , а выборочная средняя .

Так как случайная величина  распределена нормально и генеральное среднее квадратическое отклонение  известно, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

.

По условию задачи, надежность . Найдем  из соотношения .

Используя таблицу значений функции Лапласа, получим, что .

Тогда точность оценки .

Найдем доверительный интервал: .

Окончательно получаем: .

Полученный результат имеет следующий смысл: с вероятностью  можно утверждать, что неизвестное математическое ожидание  заключено в интервале .

Пример 2. Случайная величина  распределена нормально. По выборке объема  найдены выборочная средняя  и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение . Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

В данном случае .

Используя таблицу значений , зная  и , найдем .

Значит, точность оценки .

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания можно записать в виде:

 или .

Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения  нормально распределенного количественного признака  по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению  служит доверительный интервал:

    , если ,

    , если ,

где  находят по специальной таблице (приложение 4) по заданным  и .

Пример 3. Используя условие примера 2, найти доверительный интервал для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения случайной величины .

Так как  и , то по таблице значений  найдем .

Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид:

.

Окончательно получаем: .

Таким образом, с вероятностью  можно утверждать, что неизвестное среднее квадратическое отклонение  заключено в интервале .

Задачи

1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенного количественного признака  генеральной совокупности, если выборочная средняя , генеральное среднее квадратическое отклонение равно , объем выборки . Решить задачу для случая, когда . Сравнить полученные доверительные интервалы.

2. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью  и  доверительные интервалы для средней продолжительности горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы ч. Сравнить полученные доверительные интервалы. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

3. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью  точность оценки математического ожидания  нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно среднее квадратическое отклонение .

4. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью  неизвестного математического ожидания  нормально распределенного признака  генеральной совокупности, если выборочная средняя , исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение  и объем выборки: а) ; б) .

5. В результате измерения роста 16 юношей, обучающихся в университете, оказалось, что средний рост равен 174 см. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 среднего роста юношей-студентов всего университета, если исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение роста студентов равно 6,5 см.

6. По данным выборки объема  найден доверительный интервал для оценки математического ожидания  нормально распределенного признака  генеральной совокупности: . Найти надежность полученной интервальной оценки, если известно, что выборочная средняя , а исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение .

7. По данным выборки объема  из генеральной совокупности найдено исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение  нормально распределенного количественного признака . Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение  с надежностью 0,99, если: а) , ; б) , .

8. По данным выборки объема  из генеральной совокупности найдено исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение  нормально распределенного количественного признака . Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

Ответы

1.  при ;  при . 2.  при ;  при . 3. . 4. а) ; б) . 5. . 6. 0,999. 7. а) ; б) . 8. .