Для графического изображения статистического распределения используют полигон, гистограмму и график эмпирической функции распределения.
Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой последовательно соединяют точки 
, где 
– варианты выборки, 
– соответствующие им частоты.
Полигоном относительных частот называется ломаная, отрезки которой последовательно соединяют точки 
, где 
– варианты выборки, 
– соответствующие им относительные частоты.
Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины 
, а высоты равны отношению 
(
).
Площадь гистограммы частот равна объему выборки 
. Площадь гистограммы относительных частот равна 1.
Гистограмма служит только для изображения статистического распределения, заданного в виде интервальной таблицы. Полигон можно изобразить для статистического распределения, заданного любым способом. Если статистическое распределение выборки задано в виде интервальной таблицы, то при построении полигона в качестве вариант берут середины интервалов, а в качестве частот (относительных частот ) берут частоты (относительные частоты) соответствующих интервалов.
Пример 1. Для данного статистического распределения выборки построить полигон частот и полигон относительных частот.
| 2
| 4
| 6
| 8
| 10
|
| 3
| 4
| 7
| 5
| 1
|
Для построения полигона частот необходимо в прямоугольной системе координат изобразить точки 
, а затем последовательно соединить их отрезками ломаной. Полигон частот изображен на рис. 1.
Найдем распределение относительных частот.
Объем выборки 
. Тогда распределение относительных частот имеет вид:
|
| 2
| 4
| 6
| 8
| 10
|
|
| 0,15
| 0,2
| 0,35
| 0,25
| 0,05
|
Чтобы построить полигон относительных частот, нужно в прямоугольной системе координат изобразить точки 
, а затем последовательно соединить их отрезками ломаной. Полигон относительных частот изображен на рис. 2.
Рис. 1. Полигон частот
Рис. 2. Полигон относительных частот
Пример 2. Для данного статистического распределения выборки, заданного в виде интервальной таблицы частот, построить гистограмму частот.
| Номер
интервала
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
| 14
| 24
| 32
| 20
| 10
|
В данном случае длина частичного интервала 
, объем выборки 
.
Гистограмма частот состоит из пяти прямоугольников, основаниями которых служат указанные в первой строке таблицы интервалы, а высоты равны
.
Гистограмма частот изображена на рис. 3.
Рис. 3. Гистограмма частот
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция 
, которая определяет для каждого значения 
относительную частоту события 
:
, где 
– число выборочных значений, меньших ; – объем выборки.
Если изучаемый количественный признак 
является дискретным, то график функции имеет ступенчатый вид, а если является непрерывным, то график представляет собой непрерывную линию.
Пример 3. Статистическое распределение выборки задано в виде интервальной таблицы частот. Считая, что изучаемый количественный признак является непрерывным, найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
| Номер интервала
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 5
| 2
| 10
| 13
| 11
| 6
| 3
|
Очевидно, что для всех 
значения функции равны 0. Для 
определить значения функции не представляется возможным, так как для каждого 
из этого интервала не известно, чему равно число выборочных значений, меньших . Если 
, то 
. Следовательно, 
. Рассуждая аналогично, заметим, что точками, в которых значения функции можно определить, являются левые концы интервалов из интервальной таблицы частот:
,
и т.д.
Таким образом, значение эмпирической функции распределения в каждой точке представляет собой накопленную относительную частоту. Поэтому, если 
, то 
.
Представим полученные значения функции в виде следующей таблицы:
| 40
| 56
| 72
| 88
| 104
| 120
| 136
| 152
|
|
| 0
| 0,1
| 0,14
| 0,34
| 0,6
| 0,82
| 0,94
| 1
|
Так как последняя таблица определяет функцию не полностью (не для всех известны ее значения), то при построении графика целесообразно доопределить функцию, соединив точки, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой (рис. 4). В результате график функции будет представлять собой непрерывную линию. Он дает приближенное представление о графике теоретической функции распределения 
генеральной совокупности.
Рис. 4. График эмпирической функции распределения
Задачи
1. Построить полигон частот по данному распределению выборки:
| 3
| 4
| 5
| 6
|
| 5
| 3
| 14
| 8
|
2. Построить полигон частот по данному распределению выборки:
|
| 10
| 20
| 30
| 40
| 50
|
|
| 2
| 9
| 12
| 10
| 7
|
3. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
| 3
| 5
| 8
| 9
| 10
|
| 0,1
| 0,25
| 0,35
| 0,2
| 0,1
|
4. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
|
| 4
| 6
| 8
| 10
| 12
|
|
| 0,3
| 0,2
| 0,15
| 0,3
| 0,05
|
5. Построить гистограмму частот и полигон частот по данному распределению выборки:
| Номер интервала
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
|
|
| [3;8)
| [8;13)
| [13;18)
| [18;23)
| [23;28)
| [28;33)
|
|
| 5
| 9
| 15
| 10
| 7
| 4
|
6. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:
| Номер интервала
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
|
|
| [10;20)
| [20;30)
| [30;40)
| [40;50)
| [50;60)
| [60;70)
| [70;80)
| [80;90)
|
|
| 20
| 10
| 30
| 50
| 40
| 25
| 15
| 10
|
7. Статистическое распределение выборки задано в виде интервальной таблицы частот (задача 5). Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
8. По данному распределению выборки (задача 6) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
2021-06-23
45
