Фазы двух систем (или одного осциллятора и силы). Динамические системы

С дискретным временем в общем случае не имеют нулевого показателя Ляпунова, независимо от

Тип аттрактора (периодический или хаотический). В самом деле, для орбит с дискретным временем мы не

Способен совершать небольшие смещения по траектории, только большие. Следовательно, понятие

Фаза здесь не применима. То же самое верно для непрерывного, но неавтономного

системы. Например, хаотическое поведение может проявляться периодически принудительным

Нелинейный осциллятор типа

¨ х + δ ˙ х + Р (х) = ε сов ω т.

Здесь опять же нейтрально устойчивого направления вообще не существует и все ляпуновские

Показатели отличны от нуля. Можно сказать, что вынужденные колебания x (t) настроены на

фазы внешней силы и не инвариантны к небольшим сдвигам времени. Мы должны

Помните, однако, что для шумной силы свойство иметь нейтральные возмущения

Может существовать в статистическом смысле; см. обсуждение стохастического резонанса в Части I

(Раздел 3.6.3).

–15

–5

5

15

Икс

–20

–10

0

10

y

0

50

100

Время

–15

0

15

Икс

–10

0

10

y

0

20

40

60

z

а)

(б)

Рисунок 10.4. Динамика системы Рёсслера с воронкообразным аттрактором (10.6). а)

Проекция фазового портрета на плоскость (x, y). Две характерные петли

соответствующие большим и малым колебаниям. (б) Временной ряд

Переменные x, y, z. Колебания x и y сложны, так что фаза и

Амплитуду нельзя определить однозначно.

Стр. Решебника 276

254

Фазовая синхронизация хаотических систем

Фазовая динамика хаотических осцилляторов

В отличие от случая периодических колебаний рост фазы хаотической системы

Нельзя ожидать, что он будет однородным. Вместо этого мгновенная частота зависит от

в общем по амплитуде. Мы будем придерживаться определения фазы, основанного на теории Пуанкаре.

Карта (уравнение (10.1)); поэтому фазовую динамику можно описать как

А п +1 = М (А п),

(10,7)

d φ

Dt

= ω (A n) ≡ ω 0 + F (A n).

(10,8)

В качестве амплитуды A n берем набор координат точки на секущей поверхности;

она не меняется при росте фазы от 2 π n до 2 π (n + 1) и может быть

рассматривается как дискретная переменная; преобразование M определяет отображение Пуанкаре. В

фаза эволюционирует согласно (10.1); «мгновенная» частота ω (A n) = 2 π / T n равна

определяется временем возврата Пуанкаре T n = t n +1 - t n и в общем случае зависит от

Положение на секущей поверхности, т. е. по амплитуде. Предполагая хаотическое поведение

амплитуд, мы можем рассматривать член ω (A n) как сумму усредненной частоты

ω 0 и некоторого эффективного «шума» F (A) (хотя этот нерегулярный член имеет чисто

Детерминированное происхождение); в исключительных случаях F (A) может обращаться в нуль.

Важнейшее наблюдение состоит в том, что уравнение. (10.8) аналогичен уравнению. (9.2), описывающий

Эволюция фазы периодического осциллятора при наличии внешнего шума. Таким образом,

Динамика фазы обычно диффузная (ср. уравнение (9.4)), а фаза пер-

Образует случайное блуждание. Постоянная диффузии D (см. Уравнение (9.4)) определяет фазовую

Когерентность хаотических колебаний. Грубо говоря, D пропорциональна ширине

пика при ω 0 в спектре мощности типичной наблюдаемой хаотической системы.

Для аттрактора Ресслера постоянная диффузии чрезвычайно мала (D <10 − 4), что

Соответствует чрезвычайно резкому пику в спектре; этот осциллятор поэтому

Часто называется фазово-когерентным. Для аттрактора Лоренца спектральный пик по существу

шире, а константа диффузии не очень мала, D ≈ 0,2. Поэтомумыожидаем

Что фазовая динамика системы Рёсслера довольно близка к динамике периодической

Генератора, тогда как эффективным шумом в системе Лоренца нельзя пренебречь, и

Последний должен вести себя как периодическая система, возмущенная относительно сильным шумом.

Проиллюстрируем свойства когерентности аттракторов Ресслера и Лоренца в

Рис. 10.5, где показаны времена возврата T n, или «периоды» вращения. Для

Для осциллятора Рёсслера изменение T n сравнительно невелико, в то время как для осциллятора Лоренца

Осциллятора время возврата T n может быть сколь угодно большим (это соответствует медленному

движение в окрестности седла при x = y = z = 0). Как мы покажем ниже, эта функция

Определяет принципиально разные синхронизирующие свойства этих двух систем.

В заключение мы ожидаем, что явления синхронизации для хаотических систем