Второй: этот эффект можно использовать для получения качественных колебаний большой мощности.

Рассматривая формулу (9.15), мы также видим, что даже в случае взаимной связи

Улучшение качества возможно, если влияние лучшего осциллятора (т.е.

меньшая интенсивность шума σ 2) больше, чем у наихудшего. Например, если

первый осциллятор имеет лучшее качество (т. е. σ 2

1

< σ 2

2

) и его влияние сильнее (т. е.

ε 2 > ε 1), то результирующая постоянная диффузии уменьшается и качество колебаний

Увеличивается.

9,3

Библиографические примечания

Теория синхронизации в зашумленных генераторах была создана еще в 1960-х годах.

и изложен в книгах Стратоновича [1963], Малахова [1968], Ланды.

[1980] и Рискен [1989]. Последние соответствующие работы в основном посвящены хаотическим колебаниям.

Или с ансамблями; мы даем соответствующие ссылки в главах 10 и 12.

Стр. Решебника 269

Глава 10

Фазовая синхронизация хаотических систем

До сих пор мы рассматривали синхронизацию периодических осцилляторов, в том числе при наличии

Шума и описали фазовую синхронизацию и частотный унос. В этой главе

Мы обсуждаем аналогичные эффекты для хаотических систем. Основная идея заключается в том, что (по крайней мере, для некоторых

Систем) хаотические сигналы можно рассматривать как колебания с хаотически модулированными

Амплитуды и с более или менее равномерно вращающейся фазой. Средняя скорость этого

Вращение определяет характерный временной масштаб хаотической системы, который может быть

Регулируется слабым воздействием или из-за слабой связи с другим осциллятором. Таким образом, мы

Ожидается, что для этого класса систем будет наблюдаться фазовая синхронизация и частотный захват, поскольку

Хорошо. Важно, чтобы динамика амплитуды оставалась хаотичной и практически неизменной.

По принуждению / сцеплению.

Эффекты, обсуждаемые в этой главе, первоначально назывались «фазовой синхронизацией».

Отличить их от других явлений в связанных (вынужденных) хаотических системах

(эти явления представлены в части III). Поскольку эти эффекты являются естественным продолжением

Теории, представленной в предыдущих разделах, здесь мы называем их просто синхронными.

Низация.

В следующих разделах мы сначала вводим понятие фазы хаотических колебаний.

Латоры. Далее мы представляем эффект фазовой синхронизации хаотических осцилляторов и

Обсудить это со статистической и топологической точек зрения. Мы рассматриваем как увлечение

Хаотический осциллятор периодической силой и взаимная синхронизация двух неидентичных

Хаотические системы. Наша презентация предполагает, что читатель знаком с основными

Аспекты теории хаоса.

247

Стр. Решебника 270

248

Фазовая синхронизация хаотических систем

10.1

Фаза хаотического осциллятора

Понятие фазы

Первая проблема в распространении основных идей теории синхронизации на

Хаотические автогенераторы - вот как ввести фазу для этого случая. Для

Периодических колебаний мы определили фазу как переменную, параметризующую движение по

Предельный цикл и растет пропорционально времени (см. раздел 7.1). Введено

Таким образом фаза вращается равномерно и соответствует нейтрально устойчивой (т. е.

с нулевым показателем Ляпунова) в фазовом пространстве. Наша цель - расширить

это определение таким образом, чтобы:

(i) он дает правильную фазу периодической орбиты (и, следовательно, удовлетворяет очевидному

требование включить старый случай) и дает разумные результаты для

Множественные периодические орбиты, вложенные в хаотические аттракторы; 1

(ii) он обеспечивает фазу, соответствующую сдвигу фазовой точки вдоль

поток и, следовательно, соответствует нулевому показателю Ляпунова;

(iii) он имеет ясный физический смысл и может быть легко вычислен.

Кажется, не существует общего и строгого способа удовлетворить эти требования в отношении произвольной

Хаотическая система. Мы представляем здесь подход, который хотя бы частично соответствует

Условия сформулированы выше.

Предположим, что мы можем построить отображение Пуанкаре для нашей автономной системы с непрерывным временем

Хаотическая система, т. е. можно выбрать поверхность сечения, поперечно пересекаемую

Все траектории хаотического (странного) аттрактора. Затем для каждого отрезка траектории