Анализ устойчивости АСР. Критерии устойчивости.

Анализ устойчивости АСР. Критерии устойчивости.

Как известно, для устойчивости звена (или системы) необходимо и достаточно что бы корни характеристического полинома D_З(s) имели отрицательные действительные части (были «левыми»).

Корневой критерий устойчивости:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома имели отрицательные действительные части

, для i =1,…, n.

Однако определение устойчивости по корням не всегда удобно, особенно для систем высокого порядка. Но главное даже не в этом. По корням не устойчивой системы нельзя определить, как нужно изменить параметры, чтобы она стала устойчивой.

Есть проблемы и в определении устойчивости систем с запаздыванием

.

Для оценки устойчивости разработаны специальные критерии устойчивости – методы или алгоритмы, позволяющие оценить устойчивости без вычисления корней характеристического полинома.

Большинство критериев устойчивости позволяют оценить устойчивости без вычисления корней характеристического полинома.

Большинство критериев устойчивости позволяют исследовать влияние параметров системы на ее устойчивость.

История:

Гурвиц         1895

Раус              1878

Найквист     1932

Михайлов    1938

Рассмотрим некоторые из них.

Критерий Стодолы

Обозначим характеристический полином системы

, а его корни .

Необходимое условие устойчивости:

Если система устойчива, то коэффициенты характеристического полинома больше нуля

, для i =0,…, n.

Если коэффициенты положительны, то системы может быть как устойчива, так и неустойчива.

Пример.

                 – система неустойчива так как

                 – система на границе устойчивости

Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий Найквиста (частотный критерий устойчивости) позволяет оценить устойчивость замкнутой АСР по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы .

Ограничимся случаем, когда разомкнутая система устойчива, т.е. D_р(s) имеет только левые корни.

Замкнутая система устойчива, если АФХ разомкнутой системы не охватывает критеческую точку с координатами (-1,0).

На рисунке приведена АФХ разомкнутой АСР для трех различных значений коэффициента усиления К. При К=К₁ АФХ не охватывает критическую точку – система устойчива, при K=K₂ – не устойчива. И, наконец, когда АФХ проходит через критическую точку система находится на границе устойчивости. Критерий Найквиста может использоваться, когда система содержит звенья запаздывания.

 

Анализ качества АСР

Устойчивость – это необходимое, но недостаточное условие работы АСР. Помимо устойчивости АСР должна обладать некоторыми показателями качества. Под понятием качества понимается совокупность требований, предъявляемых к переходным и установившимся процессам.

Для оценки качества существует специальные показатели или критерии качества – это некоторые числовые характеристики, с помощью которых осуществляется переходный и установившийся процесс.

Показатели качества:

прямые

косвенные

Прямые показатели качества позволяют оценивать качество непосредственно по кривой переходного процесса. Их недостатком является то, что для выбора оптимальных параметров приходится строить серию переходных кривых.

Косвенные критерии не требуют построения переходных кривых, кроме того, как правило, позволяют оценивать влияние параметров системы на качество регулирования.

На практике комбинируют: по косвенным - определяют оптимальные параметры регулятора, на заключительном этапе строят переходные кривые и оценивают прямые показатели качества.

Прямые критерии качества.

При оценке качества регулирования возникают определенные проблемы, так как на АСР действуют различные возмущения случайные и детерминированные сигналы различной формы.

Форма возмущений заранее не известна. При одних система покажет хорошее качество регулирования, при других – существенно хуже.

Обычно параметры настройки рассчитывают для наиболее тяжелого возмущения, как правило, наиболее тяжелым возмущением считают скачкообразное воздействие.

Так как реакцией на единичное скачкообразное воздействие есть переходная кривая, то прямые критерии качества определяют по переходной кривой.

Переходная характеристика по заданию

 

Переходная характеристика по возмущению

1. Статическая (установившаяся) ошибка

1. Перерегулирование

Допустимое перерегулирование – 15-20%, в некоторых случаях перерегулирование не допускается. Определяется только для процессов по задающему воздействию.

1. Степень затухания – характеризует интенсивность затухания переходного процесса

.

Степень затухания может изменяться в пределах: .

Случай  соответствует  – незатухающим колебаниям, недопустимо.

Случай  соответствует  – процесс затухает сразу, допустимый вариант.

На практике

4. Время регулирования  – время, по истечении которого отклонение регулируемой величины от своего установившегося значения не превышает некоторой наперед заданной величины .

Для процессов по заданию , для процессов по возмущению .

Другие критерии: время достижения первого максимума, число полуколебаний и др.

Косвенные критерии качества

3 группы

Интегральные – связаны с площадью под кривой переходного процесса.

Корневые – связаны с распределением корней характеристического полинома замкнутой системы.

Частотные – связаны с частотными характеристиками в системе.

Корневые критерии качества

Корневые критерии — одна из групп косвенных критериев качества. Они позволяют оценивать качество по распределению корней характеристического полинома  замкнутой АСР на комплексной плоскости.

Широкое распространение получили два корневых критерия качества:

• степень устойчивости ;
• степень колебательности m.

Степенью устойчивости  – называется модуль вещественной части ближайшего к мнимой оси корня характеристического полинома

По степени устойчивости можно оценить время регулирования Т_р как

Корни ближайшие к мнимой оси называются доминирующими. Они также определяют характер переходного процесса:

• апериодический, если доминирующий корень действительный,
• колебательный, если корни комплексно-сопряженные.

Степень колебательности m называется величина, определяемая как минимальное значение отношения модулей действительной и мнимой частей корней характеристического полинома

Степень колебательности связана с прямым показателем качества — степенью затухани я  формулой

.

Для систем 2-го порядка формула дает точное значение. Для систем произвольного порядка она является приближенной, кроме того степень колебательности m может дать правильное представление о характере затухания переходного процесса (степени затухания ψ), только если в системе доминирующими является пара комплексно-сопряженных корней. В противном случае характер процесса может существенно отличатся от ожидаемого.

Анализ устойчивости АСР. Критерии устойчивости.

Как известно, для устойчивости звена (или системы) необходимо и достаточно что бы корни характеристического полинома D_З(s) имели отрицательные действительные части (были «левыми»).

Корневой критерий устойчивости:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома имели отрицательные действительные части

, для i =1,…, n.

Однако определение устойчивости по корням не всегда удобно, особенно для систем высокого порядка. Но главное даже не в этом. По корням не устойчивой системы нельзя определить, как нужно изменить параметры, чтобы она стала устойчивой.

Есть проблемы и в определении устойчивости систем с запаздыванием

.

Для оценки устойчивости разработаны специальные критерии устойчивости – методы или алгоритмы, позволяющие оценить устойчивости без вычисления корней характеристического полинома.

Большинство критериев устойчивости позволяют оценить устойчивости без вычисления корней характеристического полинома.

Большинство критериев устойчивости позволяют исследовать влияние параметров системы на ее устойчивость.

История:

Гурвиц         1895

Раус              1878

Найквист     1932

Михайлов    1938

Рассмотрим некоторые из них.

Критерий Стодолы

Обозначим характеристический полином системы

, а его корни .

Необходимое условие устойчивости:

Если система устойчива, то коэффициенты характеристического полинома больше нуля

, для i =0,…, n.

Если коэффициенты положительны, то системы может быть как устойчива, так и неустойчива.

Пример.

                 – система неустойчива так как

                 – система на границе устойчивости