Общий алгоритм расчета статически неопределимых систем

Методом сил

 

Рассмотрим алгоритм расчета статически неопределимых систем на примере рамы, показанной на рисунке 3.30, а. В качестве примера выбрана достаточно простая система, позволяющая не перегружать расчет арифметическими выкладками, но в то же время показать особенности расчета, характерные и для более сложных систем.

Установление степени статической неопределимости. Для рассматриваемой системы степень статической неопределимости n = 3.

Выбор основной системы. Для выбора основной системы необходимо в заданной системе удалить три лишних связи. При этом получаемая основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой.

Заданная система является симметричной конструкцией, на которую действует симметричная нагрузка. Поэтому целесообразно выбирать симметричную основную систему.

Рассматриваемая система три раза статически неопределима, но условия симметрии конструкции и загружения позволяют сократить число лишних неизвестных до двух (правило 3). 

Основную систему получаем рассечением стержня по оси симметрии и введением в местах разреза реакций удаленных связей – симметричных силовых факторов Х ₁ и Х ₂ (рисунок 3.30, б). Кососимметричный силовой фактор Х ₃ (поперечная сила) в плоскости симметрии будет равен нулю.

 

П р и м е ч а н и е – Направление действия реакций отброшенных связей принимают произвольно.

 

 

Рисунок 3.30 – К расчету статически неопределимой системы:

а – исходная система; б – основная система; в, г – единичные эпюры моментов;

д – грузовая эпюра моментов; е – суммарная единичная эпюра моментов;

ж – окончательная эпюра моментов; з, и – вырезанные узлы

 

Составление канонических уравнений. Для двух неизвестных система канонических уравнений будет иметь вид:  

 

 

Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений. Для вычисления коэффициента  и свободного члена :

1) строим эпюры изгибающих моментов: единичные ,  (от неизвестных единичных силовых факторов Х ₁ и Х ₂) и грузовую  (от внешней нагрузки Р);

2) перемножаем эпюры по формулам, приведенным в п. 3.5.

 

П р и м е ч а н и е – Для упрощения расчета ограничимся рассмотрением только эпюр изгибающих моментов.

 

При построении эпюр основную систему поочередно нагружаем усилиями Х ₁ = 1, Х ₂ = 1 и внешней нагрузкой Р. Построенные эпюры моментов ,  и  приведены на рисунках 3.30, в–д.

Тогда:

коэффициент  (результат перемножения эпюры  саму на себя)

;

коэффициент  (результат перемножения эпюр и )

;

коэффициент  (результат перемножения эпюры  саму на себя)

;

свободный член  (результат перемножения эпюр  и )

;

свободный член  (результат перемножения эпюр  и )

 

       .

 

Для контроля правильности определения коэффициентов и свободных членов строим суммарную единичную эпюру  (рисунок 3.30, е). Она представляет собой сумму эпюр от всех единичных неизвестных (см. формулу (3.15)).

Перемножаем суммарную эпюру саму на себя () и на грузовую ():

;

 

  .

Проверку коэффициентов и свободных членов выполним для l = 1 м.

Тогда

;

.

Определяем:

.

.

Поскольку  и , коэффициенты и свободные члены определены правильно.

Решение канонических уравнений. Система канонических уравнений имеет вид:

;

.

Умножая все уравнения на EJ, получим коэффициенты и свободные члены окончательной системы канонических уравнений:

;

.

Решая канонические уравнения, находим значения неизвестных: , .

Для проверки правильности вычисления неизвестных подставляем найденные значения Х ₁ и Х ₂ в канонические уравнения: 

;

.

Построение окончательной эпюры моментов для заданной системы. Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов определяем по формуле (3.18).

Для построения окончательной эпюры изгибающих моментов ординаты единичных эпюр  и  умножаем на соответствующие значения лишних неизвестных  и  и складываем с ординатами грузовой эпюры . Суммирование ординат производим по характерным точкам (А, В, С, D, Е) рамы:

стержень (стойка) АВ –

;

;

стержень (ригель) ВС –

;

;

стержень (стойка) С D –

;

.

 

П р и м е ч а н и е – При вычислении ординат окончательной эпюры необходимо учитывать знаки силовых факторов  и  и моментов ,  и . Для этого задаемся правилом знаков изгибающих моментов: положительными считаем ординаты, расположенные внутрь рамы.

 

Окончательная эпюра изгибающих моментов показана на рисунке 3.30, ж).

Производим проверку правильности построения окончательной эпюры М – статическую и кинематическую.

Для выполнения статической проверки вырезаем жесткие узлы рамы (кроме опорных), прикладываем все действующеие в них моменты и проверяем условие равновесия узла .

В рассматриваем случае вырезаем узлы В и С (рисунки 3.30, з, и):

узел В: ;

узел С: .

 

П р и м е ч а н и е – Знак ординаты эпюры М определяется стрелкой дуги окружности около узла, направленной так, чтобы вызвать растяжение в элементе со стороны ординат эпюры моментов.  

 

Выполнение условия равновесия узлов является необходимым, но недостаточным.

Достаточным условием правильности построения окончательной эпюры М является кинематическая проверка по условию (3.19).

Для этого перемножим окончательную М и суммарную единичную  эпюры:

.

Поскольку , условие (3.19) выполняется. Это свидетельствует о правильности построения окончательной эпюры моментов М.