Решение канонических уравнений

Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений. Коэффициенты и свободные членов канонических уравнений, являющиеся единичными и грузовыми перемещениями, вычисляются по формулам перемещений (интегралам Мора).

В случае плоской задачи

 

 ;    (3.10)

 ,   (3.11)

 

где , ,  – изгибающие моменты в основной системе соответственно от действия силовых факторов ,  и от внешней нагрузки;

, ,  – то же продольные силы;

, ,  – то же поперечные силы;

, , – жесткость стержней соответственно при деформациях изгиба, растяжения-сжатия и сдвига;

– коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.

 

Примечания:

1. Интегрирование в формулах (3.10) и (3.11) производится в пределах длины каждого участка стержня, а суммирование – по всем участкам стержней рамы.

2. При использовании формул перемещений обычно не учитывают те слагаемые, влиянием которых можно пренебречь. Например, при расчете балок и рам пренебрегают деформациями растяжения-сжатия и сдвига.

3. В случае пространственной задачи формулы перемещений содержит не три, а шесть слагаемых (в соответствии с числом внутренних усилий, которые могут возникать в поперечных сечениях).

 

В практических расчетах для вычисления интегралов в формулах перемещений (3.10) и (3.11) необходимо построить эпюры ,  и  от единичных силовых факторов , …,  (единичные эпюры) и от внешней нагрузки (грузовые эпюры) и перемножить их по правилу Симпсона или Верещагина.

Для построения эпюр основную систему поочередно загружают единичными силовыми факторами , …,  и внешней нагрузкой.

Перемножение эпюр производят по формулам:

· если одна из эпюр нелинейная (рисунок 3.13, а)

;                   (3.12)

· если обе эпюры линейные (рисунок 3.13, б)

,                (3.13)

где a, b – значения ординат эпюры изгибающих моментов по концам участка стержня;

c, d – то же эпюр  или ;

e, f – то же посередине участка длиной l эпюр  или ;

l – длина участка стержня, на котором перемножаются эпюры.

 

 

Рисунок 3.13 – Варианты перемножаемых эпюр:

а – линейная и нелинейная эпюры; б – две линейных эпюры

 

Частные случаи формулы (3.13):

· обе эпюры треугольные (рисунок 3.14, а)

;

· одна эпюра треугольная, другая – прямоугольная (рисунок 3.14, б)

;

· обе эпюры прямоугольные (рисунок3.14, в)

.

Рисунок 3.14 – Частные случаи перемножаемых линейных эпюр:

а – две треугольные эпюры; б – треугольная и прямоугольная эпюры;

в – две прямоугольные эпюры

Правило знаков при перемножении эпюр в приведенных формулах: произведения ординат эпюр, расположенных по одну сторону оси стержня, т.е. одного знака, берут со знаком плюс, а по разные стороны – со знаком минус.

При перемножении двух эпюр в виде «перекрученных» трапеций (рисунок 3.15) с учетом правила знаков имеем

.                        (3.14)

 

Примечания:

1 Индексы у коэффициентов и свободных членов показывают, какие эпюры перемножаются.

2 Главные коэффициенты  всегда положительны, побочные коэффициенты  и свободные члены  могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Отрицательное значение  или означает, что направление перемещения противоположно принятому направлению единичной силы Х _i в основной системе.

3 Если одна из перемножаемых эпюр имеет ломаное очертание, то ее разбивают на участки таким образом, чтобы она в пределах каждого участке была линейной, а жесткость сечения – постоянная (рисунок 3.16).

 

 

Рисунок 3.15 – К учету правила знаков при перемножении эпюр

Рисунок 3.16 – К разбиению перемножаемых эпюр на участки

Контроль правильности определения коэффициентов и свободных членов. Для проверки полученных коэффициентов и свободных членов строится суммарная единичная эпюра  от совместного действия единичных силовых факторов , …, .

Ордината суммарной единичной эпюры

.                                 (3.15)

Универсальная проверка заключается в проверке выполнимости двух условий

                                          (3.16)

где – сумма всех найденных коэффициентов при неизвестных,

;

– сумма всех свободных членов,

;

– перемещение, получаемое умножением эпюры  на саму себя;

– перемещение, получаемое перемножением эпюр  и .

Если условия (3.16) не выполняются и расхождение между сравниваемыми величинами более 1%, то для отыскания ошибки рекомендуется производить построчную проверку по условию

,                                             (3.17)

где – сумма коэффициентов при неизвестных i -го уравнения,

;

– перемещение, получаемое перемножением эпюр  и .

Решение канонических уравнений. Найденные и проверенные значения  и подставляют в канонические уравнения. Решают полученную систему уравнений относительно лишних неизвестных  сокращенным способом Гаусса или с помощью ЭВМ, используя стандартную программу решения линейных алгебраических уравнений.