Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины.

Понятие случайной величины является одним из основных понятий теории вероятностей. Под данным термином подразумевается величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей. Функцией распределения вероятностей случайной величины ξ называется вероятность того, что ξ примет значение, меньшее, чем произвольное число х:

F(x) = P{ξ.

Случайные величины принято обозначать греческими буквами, а принимаемые ими значения – строчными латинскими [23]. В зависимости от характера принимаемых значений различают 2 основных класса случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины могут принимать только конечное или счетное множество значений. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Пусть ξ – дискретная случайная величина, единственно возможными значениями которой являются числа x₁,x₂,...,x_n. Обозначим через

p_i = P(ξ = x_i)(i=1,2,...,n)

вероятности этих значений. Тогда закон распределения случайной величины ξ задает таблица

Непрерывной называется случайная величина, все возможные значения которой целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Для любой непрерывной случайной величины существует неотрицательная функция f(x), при любых х удовлетворяющая равенству: F(x)=∫−∞xf(x)dxF(x)=∫−∞xf(x)dx.

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:
1. f(x) ≥0.
2. При любых x₁ и x₂ удовлетворяет равенству P{x1⩽ξ<x2}=∫x1x2f(x)dxP{x1⩽ξ<x2}=∫x1x2f(x)dx.

3. ∫ f(x)dx = 1.
F(x) является первообразной функцией для функции f(x):

F'(x) = f(x),

поэтому функцию F(x) называют также интегральным, а плотность вероятностей f(x) - дифференциальным законом распределения случайной величины ξ. Функция распределения имеет также смысл для дискретных случайных величин.

В теории вероятностей в отношении непрерывных случайных величин доказана следующая важная теорема [27].

Теорема. Вероятность (до опыта) того, что непрерывная случайная величина ξ примет заранее указанное строго определенное значение а, равна нулю.

Рассмотрим теперь вероятностное пространство {Ω, Θ, P}, на котором определены n случайных величин

ξ₁ = f₁(ω), ξ₂ = f₂(ω),...,ξ_n = f_n(ω).

Тогда вектор (ξ₁,ξ₂,...,ξ_n) называется случайным вектором или n-мерной случайной величиной.

Обозначим через {ξ₁1,ξ₂2,...,ξ_nn} множество тех элементарных событий ω, для которых одновременно выполняются неравенства

ξ₁1,ξ₂2,...,ξ_nn.

Это событие принадлежит множеству Θ, т.е.

{ξ₁1,ξ₂2,...,ξ_nn}∈Θ.

Таким образом, при любом наборе чисел определена вероятность

F(x₁,x₂,...,x_n) = P{ξ₁1,ξ₂2,...,ξ_nn}.

Функция F(x₁,x₂,...,x_n) от n аргументов называется n-мерной функцией распределения случайного вектора (ξ₁,ξ₂,...,ξ_n).

Геометрическая интерпретация рассматривает вектор (ξ₁,ξ₂,...,ξ_n) как координаты точки n-мерного евклидова пространства. Функция F(x₁,x₂,...,x_n) при такой интерпретации дает вероятность попадания точки (ξ₁,ξ₂,...,ξ_n) в n-мерный параллелепипед ξ₁1,ξ₂2,...,ξ_nn с ребрами, параллельными осям координат.

Функция распределения, указывая на то, какие значения может принимать случайная величина и с какими вероятностями, представляет собой наиболее полную характеристику последней. Однако общую количественную характеристику о случайной величине могут дать некоторые постоянные числа, получаемые по определенным правилам из функций распределения. К числу этих постоянных относятся математическое ожидание и дисперсия.

Для произвольной случайной величины ξ с функций распределения f(x) математическим ожиданием называется интеграл

Mξ = ∫xdF(x).

Для непрерывных случайных величин, распределенных по нормальному закону, математическое ожидание равно генеральному среднему, а его наилучшей точечной оценкой является выборочное среднее. Наилучшей точечной оценкой асимметрично распределенных непрерывных случайных величин является медиана.

Дисперсией случайной величины ξ называется математическое ожидание квадрата уклонения ξ от Mξ:

Dξ = M(ξ - Mξ)².

Таким образом, математическое ожидание представляет собой характеристику центральной тенденции (типичного значения) случайной величины, а дисперсия – меры ее рассеяния.

В заключение следует также охарактеризовать независимые и зависимые случайные величины. Две случайные величины считаются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Несколько случайных величин являются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.