Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.

Условная вероятность

 

Наступление события может повлиять на вероятность появления события . Для учета таких случаев вводится понятие условной вероятности события .

Определение. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события и обозначается

.

Пример. Пусть событие - означает, что при бросании двух кубиков на первом выпала 1, а событие - означает, что сумма очков, выпавших на двух костях больше 5. Найти вероятность .

Решение. Если на первомкубике выпала 1, то возможными исходами опыта являются исходы . Событию при этом благоприятствуют исходы , т.е. два из 6, значит,

 

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных равновероятных исходов.

Пусть:

· событие появилось в исходах опыта;

· событие появилось в исходах опыта;

· событие появилось в исходах опыта.

Вероятность события вычислим по классическому определению. Поскольку событие произошло, то всего возможных в этом случае исходов - ; при этом из этих возможных исходов благоприятны событию те исходы, которые составляют событие , т.е. исходов:

,

или

.

Следствие 1. Обобщим теорему на случай трех событий:

Следствие 2. Обобщим теорему на случай событий: в случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились:

.

Пример. В группе 20 студентов. Из них двое курят, 12 – в очках, 6 – курят и носят очки. Найти вероятность того, что студент курит, если он носит очки.

Решение. Пусть событие - студент курит; - студент носит очки.

Тогда

.

Заметим, что условная и безусловная вероятности события в данной задаче различны: .

 

События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого: .

 

Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид:

- критерий независимости событий.

В рассмотренном примере события и - зависимы, поскольку

.

Пример. Бросают три монетки и игральную кость. Событие - выпал герб, событие - выпало число очков, равное 6. Пространством элементарных исходов опыта является множество . Тогда , , . Таким образом, , т.е. события и - независимы.

Свойства независимых событий

Теорема

Если события и независимы, то:

1) события и независимы;

2) события и независимы;

3) события и независимы.

Доказательство. 1)

Поскольку события и независимы, то:

.

Итак,

.

Поскольку , то , что свидетельствует о независимости событий и .

 

2)

Поскольку события и независимы, то:

.

Итак,

.

Поскольку , то , что свидетельствует о независимости событий и .

3) Если события и независимы, то по 2) события и независимы; и по 1) и независимы.

Определение. События независимы в совокупности, если

.

Определение. События попарно независимы, если в любой паре события и независимы.

Независимость в совокупности и попарная независимость событий – понятия разные.

Пример. Три грани треугольной пирамиды окрашены соответственно в белый, зеленый, желтый цвета. На последней грани присутствуют все три цвета. Случайным образом выбирают грань. Найти вероятности событий: =«на грани есть желтый цвет»;

=«на грани есть белый цвет»;

=«на грани есть зеленый цвет»;

Решение. Желтый цвет имеется на двух гранях из четырех, т.о. ; аналогично: . Вероятность того, что на выпавшей грани есть два цвета - , т.е. . Таким образом,

,

Т.е. все события попарно независимы. Однако события не являются независимыми в совокупности:

 

Теорема. (О появлении хотя бы одного из независимых событий)

Пусть вероятность появления каждого из п событий , независимых в совокупности, равна . Вероятность появления хотя бы одного события, равна

,

Доказательство. Поскольку по закону Де Моргана

,

то

.

 

Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая карта.

Решение. Пусть событие означает «среди четырех вынутых карт есть хотя бы одна бубновая карта». Тогда . Событие означает, что все четыре карты не бубновой масти. Вероятность того, что случайно взятая из колоды карта не бубновая - и , тогда ,

Формула полной вероятности и формула Байеса. Пример.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

- на линию огня вызван первый стрелок,

- на линию огня вызван второй стрелок,

- на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то

В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:

Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: – взятая наудачу деталь обработана на -ом станке, .

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Зависимости между производительностями станков означают следующее:

.

А так как гипотезы образуют полную группу, то .

Решив полученную систему уравнений, найдем: .

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

.

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

,

,

.

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

 

 

Испытания Бернулли.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P (A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где C _n ^k — число сочетаний, q = 1 − p

Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A», т.е. выпуск бракованного изделия.

Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):