Операции над случайными событиями. Диаграммы Венна.

Операции над случайными событиями. Диаграммы Венна.

В теории вероятностей случайными событиями являются подмножества множества элементарных исходов Ω.

Над событиями, как и над любыми множествами, можно совершать следующие операции.

Произведение (пересечение) двух событий

Операцию произведения (пересечения) двух событий A и B обозначают

, или AB, или .

Определение 1. Произведением (пересечением) двух событий A и B называют такое событие, которое состоит из всех элементов, входящих как в событие A, так и в событие B (рис. 1).

Событие A	Событие B
Событие

Рис.1

Сумма (объединение) двух событий

Операцию суммы (объединения) двух событий A и B обозначают

A + B или

Определение 2. Суммой (объединением) двух событий A и B называют такое событие, которое состоит из элементов события A и элементов события B (рис. 2).

Событие A	Событие B
Событие A + B

Рис.2

Разность двух событий

Операцию разности двух событий A и B обозначают

A \ B

Определение 3. Разностью событий A и B называют событие, состоящее из тех элементов события A, которые не входят в событие B (рис. 3).

Событие A	Событие B
Событие A \ B

Рис.3

Замечание 1. Разностью событий B и A является событие B \ A, изображенное на рисунке 4.

Событие A	Событие B
Событие B \ A

Рис.4

Симметрическая разность двух событий

Операцию симметрической разности двух событий A и B обозначают

Определение 4. Симметрической разностью событий A и B называют событие, состоящее из тех элементов события A, которые не входят в событие B, а также из тех элементов события B, которые не входят в событие A (рис. 5).

Событие A	Событие B
Событие

Рис.5

Свойства вероятности и следствия из них.

Существуют различные способы введения этой меры. Согласно аксиоматическому подходу, существование такой меры для каждого события постулируется, а свойства определяются совокупностью аксиом:

 

Каждому событию А соответствует неотрицательное действительное число Р(А), называемое вероятностью события А.

Вероятность достоверного события равна единице, то есть.

Если А и В – несовместные события, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

 

Классическая вероятность. Дискретное вероятностное пространство. Пример.

Классическое определение

Классическое «определение» вероятности исходит из понятия равновозможности как объективного свойства изучаемых явлений. Равновозможность является неопределяемым понятием и устанавливается из общих соображений симметрии изучаемых явлений. Например, при подбрасывании монетки исходят из того, что в силу предполагаемой симметрии монетки, однородности материала и случайности (непредвзятости) подбрасывания нет никаких оснований для предпочтения «решки» перед «орлом» или наоборот, то есть выпадение этих сторон можно считать равновозможными (равновероятными).

Наряду с понятием равновозможности в общем случае для классического определения необходимо также понятие элементарного события (исхода), благоприятствующего или нет изучаемому событию A. Речь идет об исходах, наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события. К примеру при бросании игральной кости выпадение конкретного числа исключает выпадение остальных чисел.

Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A)≤1

 

Например, пусть подбрасываются две кости. Общее количество равновозможных исходов (элементарных событий) равно 36 (так как на каждый из 6 возможных исходов одной кости возможно по 6 вариантов исхода другой). Оценим вероятность выпадения семи очков. Получить 7 очков можно лишь при следующих сочетаниях исходов броска двух костей: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. То есть всего 6 равновозможных исходов, благоприятствующих получению 7 очков, из 36 возможных исходов броска костей. Следовательно, вероятность будет равна 6/36 или, если сократить, 1/6. Для сравнения: вероятность получения 12 очков или 2 очков равна всего 1/36 — в 6 раз меньше.

Определение вероятностного пространства

При построении математической модели мы должны найти компромисс между двумя обстоятельствами. С одной стороны, она должна быть достаточно подробной, чтобы учесть все существенные черты изучаемого явления. С другой стороны, необходимо отбросить все несущественные детали, затемняющие суть дела. Излишняя подробность затрудняет изучение свойств модели, а чрезмерное упрощение может привести к неправильным выводам относительно поведения реальной системы.

Мы начинаем изучение курса теории вероятностей с исследования свойств моделей таких случайных экспериментов, которые имеют конечное или счетное число исходов. Элементарным исходом мы будем называть такое событие, которое однозначно (с определенной точки зрения) говорит о том, чем закончился эксперимент. Это сразу же накладывает на множество элементарных исходов следующее важное ограничение: в каждом испытании происходит один и только один элементарный исход.

Чтобы понять, как должна выглядеть наша модель, рассмотрим пример. Однородный игральный кубик в одинаковых условиях подбрасывают много раз и отмечают число очков, выпавших на верхней грани. Ясно, что в этом эксперименте есть 6 элементарных исходов, которые мы обозначим ( означает, что выпало к очков). Пусть - относительная частота появления исхода . Тогда эти частоты обладают следующими свойствами:

1

2

Как отмечалось выше, частоты тяготеют к некоторым числам, которые мы будем называть вероятностями этих исходов. Ясно, что они должны наследовать свойства частот. Эти предварительные рассмотрения приводят нас к следующему определению.

Определение 1. Дискретным вероятностным пространством называется пара , где -конечное или счетное множество, Р - вещественная функция, заданная на , такая, что

1)

2)

Множество называется пространством элементарных исходов, его элементы -элементарными исходами, а число - вероятностью появления элементарного исхода .

Пример 1. Симметричную монету подбрасывают один раз. Здесь два элементарных исхода: выпал герб - Г, выпала цифра - Ц. Таким образом, . В силу симметрии естественно положить 5

Пример 2. Однородный симметричный игральный кубик подбрасывают один раз. В этом случае

Другие примеры будут приведены на практических занятиях. Важную роль играет следующий частный случай дискретного вероятностного пространства.

Определение 2. Говорят, что мы имеем задачу на классическое определение вероятности, если -конечное множество и для всех , , т.е. все исходыравновозможны.

Обычно предположение о равновозможности исходов делается из соображений симметрии задачи. Но так ли это на самом деле (т.е. верна ли модель), можно установить только из сравнения с экспериментальными данными.

 

Геометрическая вероятность. Непрерывное вероятностное пространство. Пример.

Геометрическое определение

Несмотря на то, что классическое определение является интуитивно понятным и выведенным из практики, оно, как минимум, не может быть непосредственно применено в случае, если количество равновозможных исходов бесконечно. Ярким примером бесконечного числа возможных исходов является ограниченная геометрическая область G, например, на плоскости, с площадью S. Случайно «подброшенная» «точка» с равной вероятностью может оказаться в любой точке этой области. Задача заключается в определении вероятности попадания точки в некоторую подобласть g с площадью s. В таком случае, обобщая классическое определение, можно прийти к геометрическому определению вероятности попадания в подобласть g:

В виду равновозможности вероятность эта не зависит от формы области g, она зависит только от её площади. Данное определение естественно можно обобщить и на пространство любой размерности, где вместо площади использовать понятие «объёма». Более того, именно такое определение приводит к современному аксиоматическому определению вероятности. Понятие объёма обобщается до понятия меры некоторого абстрактного множества, к которой предъявляются требования, которыми обладает и «объём» в геометрической интерпретации — в первую очередь, это неотрицательность и аддитивность.

Непрерывное вероятностное пространство. Геометрические вероятности. Формула классической вероятности следующим образом обобщается на случай непрерывных множеств элементарных исходов .

Пусть – ограниченная замкнутая область на евклидовой плоскости, а условия опыта таковы, что вероятность попадания в произвольную подобласть области пропорциональна площади этой подобласти и не зависит от ее местоположения в . При этих условиях для вероятности наступления любого наблюдаемого в данном опыте события справедлива формула геометрической вероятности:

, (2)

где – площадь области , – площадь подобласти .

Формула (2) естественным образом обобщается на случай пространств произвольной размерности:

,

где – мера множества (длина, площадь, объем и т. д. в зависимости от размерности того пространства, в котором рассматриваются данные множества).

Пример. На обслуживающее устройство в промежуток времени должны поступить две заявки. Если разность между моментами поступления заявок меньше , то вторая заявка теряется. Найти вероятность потери заявки.

◄ Обозначим через и моменты поступления 1-й и 2-й заявок соответственно. Тогда множество можно записать в виде: . Искомое событие ={заявка будет потеряна} запишется в виде: . Если воспользоваться геометрически определением, то множества и изобразятся областями на плоскости, представленными на рис. 2. Площади этих фигур , . По формуле (2) находим

 

Решение.

Пусть А – попадание первого стрелка, ;

В – попадание второго стрелка, .

Тогда - промах первого, ;

- промах второго, .

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание,

б) – двойной промах, .

в) А + В – хотя бы одно попадание,

.

г) – одно попадание,

.

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Решение.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1.

2. .

3.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Если события имеют одинаковую вероятность , то формула принимает простой вид:

.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7; p 3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события (попадание первого орудия), (попадание второго орудия) и (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям , и (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

, ,

Искомая вероятность .

Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

Искомая вероятность

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула .

Приняв во внимание, что, по условию, (следовательно, ), получим

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

Итак, , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

 

Теорема

Если события и независимы, то:

1) события и независимы;

2) события и независимы;

3) события и независимы.

Доказательство. 1)

Поскольку события и независимы, то:

.

Итак,

.

Поскольку , то , что свидетельствует о независимости событий и .

 

2)

Поскольку события и независимы, то:

.

Итак,

.

Поскольку , то , что свидетельствует о независимости событий и .

3) Если события и независимы, то по 2) события и независимы; и по 1) и независимы.

Определение. События независимы в совокупности, если

.

Определение. События попарно независимы, если в любой паре события и независимы.

Независимость в совокупности и попарная независимость событий – понятия разные.

Пример. Три грани треугольной пирамиды окрашены соответственно в белый, зеленый, желтый цвета. На последней грани присутствуют все три цвета. Случайным образом выбирают грань. Найти вероятности событий: =«на грани есть желтый цвет»;

=«на грани есть белый цвет»;

=«на грани есть зеленый цвет»;

Решение. Желтый цвет имеется на двух гранях из четырех, т.о. ; аналогично: . Вероятность того, что на выпавшей грани есть два цвета - , т.е. . Таким образом,

,

Т.е. все события попарно независимы. Однако события не являются независимыми в совокупности:

 

Теорема. (О появлении хотя бы одного из независимых событий)

Пусть вероятность появления каждого из п событий , независимых в совокупности, равна . Вероятность появления хотя бы одного события, равна

,

Доказательство. Поскольку по закону Де Моргана

,

то

.

 

Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая карта.

Решение. Пусть событие означает «среди четырех вынутых карт есть хотя бы одна бубновая карта». Тогда . Событие означает, что все четыре карты не бубновой масти. Вероятность того, что случайно взятая из колоды карта не бубновая - и , тогда ,

Формула полной вероятности и формула Байеса. Пример.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

- на линию огня вызван первый стрелок,

- на линию огня вызван второй стрелок,

- на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то

В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:

Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: – взятая наудачу деталь обработана на -ом станке, .

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Зависимости между производительностями станков означают следующее:

.

А так как гипотезы образуют полную группу, то .

Решив полученную систему уравнений, найдем: .

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

.

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

,

,

.

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

 

 

Испытания Бернулли.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P (A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где C _n ^k — число сочетаний, q = 1 − p

Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A», т.е. выпуск бракованного изделия.

Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):

QED

Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры.

Доказательство свойства (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции . Остается лишь доказать равенства

, и .

Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности , так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов.

Докажем, что при . Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий :

Пересечение всех этих событий состоит из тех и только тех , для которых меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода значение вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий не содержит элементарных исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры, при .

Точно так же докажем остальные свойства.

Покажем, что при , т.е. . Обозначим через событие . События вложены:

а пересечение этих событий снова пусто — оно означает, что больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, при .

Доказательство свойства (F3). Достаточно доказать, что п