Модель Калдора в свете теории катастроф.

Вэриан (Varian) в 1979 году представил расширение модели Калдора (Kaldor), которое послужило одним из первых экономических приложений теории катастроф. Рассмотрим трехмерную систему:

,

,                       (12.10)

,

где  – «благосостояние», а  - перспективное состояние равновесия функции благосостояния,  – коэффициент регулирования,  – автономный и постоянный износ. Инвестиционная функция имеет вид функции инвестирования в модели Калдора. Предположим, что накопление негативно влияет на благосостояния так, что не только доходо-зависимая часть накопления, но и предельная склонность к накоплению падает, когда благосостояние возрастает. Предположим, что обычный сценарий Калдора с тремя частичными точками равновесия на рынке товаров реализуется при . Когда благосостояние покидает перспективное состояние равновесия, функция накопления изменяет свое расположение и наклон. При достаточно существенном смещении благосостояния от  на рынке товаров существует единственная точка равновесия. Следовательно, складка находится в точке –кривая исчезает для более высоких и более низких значений .

Трехмерное представление местоположения  может быть представлено как совокупность уровней , принадлежащих различным значениям . Для значений W существенно близких к  соответствующие -плоскости показывают типичную область для катастрофы; для больших и меньших значений  ()-кривые в  имеют отрицательный угол наклона. На рисунке 12.3 показана ()-поверхность для . Экономический сценарий предполагает, что вторая часть поверхности для  имеет похожую форму, учитывая, что, вообще говоря, существуют две точки сборки с областью складки посредине.

Рисунок 12.3. Трехмерная модель Калдора.

Предположим, что благосостояние и уровень основных фондов -сравнительно медленные переменные, если сравнивать их с доходом. Модель (12.10) в этом случае удовлетворяет условиям теории катастроф, и система всегда функционирует на верхней плоскости поверхности равновесия.

Предположим, что перспективная фиксированная точка   расположена на верхней поверхности (см. точка  на рис. 12.3). Если возникает небольшое отклонение от равновесия, система возвращается к нему монотонно в соответствии с динамикой  и . Однако если  является таким, что точка  пересекается траекторией, возникает катастрофа, и доход перепрыгивает на нижнюю ветвь . Начинается медленное продвижение по  до тех пор, пока не будет достигнута точка бифуркации  и не возникнет другая катастрофа, когда  подскочит до верхней ветви. В конечном счете  достигнет точки равновесия.

Однако, шок может быть очень большим и благосостояние может уменьшится до очень низкого уровня. В зависимости от относительных скоростей регулирования  и , движение к состоянию равновесия может характеризоваться не катастрофой, а наоборот, плавным прохождением траектории через точку сборки. Эта траектория может быть интерпретирована как депрессия в противоположность регрессии, поскольку движение через точку сборки требует больше времени, чем движение по траектории через бифуркационное множество.

Расширение модели Калдора с точки зрения теории катастроф позволяет моделировать явления, отсутствующие в оригинальной трактовке. Отметим, что описанное возможное поведение системы, не понимается как динамическое поведение, которое в действительности превалирует. В зависимости от того стабильной или нестабильной является перспективная точка равновесия, проходит траектория через бифуркационное множество или через точку сборки, в зависимости от конкретной спецификации модели и значений параметров регулирования в системе будет проявляться тот или иной сценарий поведения.