Глава 1. Паутинообразная модель рыночного равновесия

Глава 1. Паутинообразная модель рыночного равновесия

 

Нормальная цена

Рассуждения, опирающиеся на предположения о неизменности уровня рыночных цен, используемые при планировании объемов продаж, на практике оказываются, как правило, неприменимыми. Известный экономист Маршалл предложил методику, которая позволяла в какой-то мере избавиться от этого губительного предположения на этапе планирования.

Воспользуемся методикой Маршалла и покажем, что ее использование оказывает на модель в целом стабилизирующее воздействие. Традиционная паутинообразная модель рыночного равновесия может быть представлена как частный случай более общей модели:

,

,                           (1.3)

,

где  - цена, ожидаемая производителями, то есть цена, которая установится, по их мнению, на момент реализации продукции. Теорема о рыночном равновесии предполагает в качестве основного допущения, что .

Таким образом, кажется неразумным предполагать, что производители будут ожидать, что цена останется на своем предыдущем уровне, в то время как она напротив варьируется от периода к периоду. Все учатся на опыте. Поэтому в модель следует ввести некоторые дополнения и усовершенствования.

Под нормальной ценой  понимается цена, которая, по мнению производителя, рано или поздно установится на рынке. Поэтому, если текущая цена отличается от нормальной, они считают, что смогут изменить ее в дальнейшем. Другими словами

, .         (1.4)

Следует отметить, что отдельный вопрос представляет собой определение значения нормальной цены. Идеальным вариантом было бы установить ее на уровне цены статического равновесия, однако в условиях отсутствия полной информации подобный подход оказывается неприменимым. Пусть , и

,                  (1.5)

.                   (1.6)

Условие стабильности:

.                           (1.7)

На рисунке 1.4 представлены некоторые нестандартные ситуации, которые относятся к случаям, когда кривые спроса и предложения имеют наклон в одну сторону. Отметим, что даже в этом случае имеют место стабильность и нестабильность равновесия.

Выражение  в 1.7 положительно и меньше единицы, так как . Значит абсолютное значение  меньше, чем абсолютное значение . Сравнив с первоначальной теоремой о рыночном равновесии, получим следующие результаты:

1)  Сходимость сохраняется, ее темп увеличивается

,

модуль  стремится к нулю быстрее, чем модуль  .

2)  Периодические колебания с постоянной амплитудой становятся затухающими, так как, если , то

.

3)  Расходимость может смениться сходимостью, если параметр с существенно близок к единице, так как вполне вероятно, что

,   даже при .

 

Рисунок 1.4. Нестандартные ситуации

 

Полученные результаты показывают, что введение в модель нормальной цены делает ее поведение более стабильной.

 

Адаптивные ожидания

Другой способ совершенствования паутинообразной модели рыночного равновесия - использование адаптивных ожиданий. Планы, которые принимаются в каждый данный период, зависят не только от текущих цен, но и от ожиданий будущих цен. Эти ожидания мы будем толковать, как правило, однозначно и жестко, полагая, что у каждого индивида складываются определенные представления о том, какой будет, по его мнению, цена того или иного интересующего его товара в том или ином периоде. Разумеется, такое предположение чрезмерно жестко. Оно, в действительности, неправомерно по двум причинам.

При необходимости, обсуждая все эти проблемы, связанные с факторами, определяющими планы, допустить неопределенность ожиданий мы должны считать самое вероятное значение цены не репрезентативной ожидаемой ценой, а суммой наиболее вероятных цен ± поправка на неопределенность ожиданий (или, иначе говоря, поправка на риск):

,              (1.8)

где  - положительный коэффициент меньше единицы.

Таким образом, предположим формально, что люди ожидают установления тех или иных точных цен, то есть что у них формируются определенные ценовые ожидания. Но будем готовыми к тому, чтобы интерпретировать эти определенные ожидания как особые величины, которые наилучшим образом отражают условия неопределенности действительных ожиданий.

Запишем разностное уравнение:

                                  (1.9)

Отметим, что общее решение соответствующего однородного уравнения:

.          (1.10)

Соответствующее частное решение:

_.                                                                      (1.11)

Общее решение (1.9):

.             (1.12)

Это означает, что ожидаемая цена представляет собой средневзвешенную величину с убывающими во времени весами всех наблюдавшихся цен.

Так как

откуда

.

Подставляя эти значения в (1.9) получим:

 ,

откуда

.                   (1.13)

Поскольку  для всех  по условию, и , можно подставить  и  соответственно вместо  и  в (1.13) получим

,

откуда

.             (1.14)

Частное решение (1.14) -  - цена равновесия. Общее решение соответствующего однородного уравнения:

,

и, таким образом, общее решение:

,                   (1.15)

где  – начальное отклонение. Условие стабильности:

,                             (1.16)

 то есть

.

Разделив обе части на  и прибавим , получим:

.                             (1.17)

Если учесть первоначальное условие условие стабильности Теоремы о рыночном равновесии , то

.                                (1.18)

Поскольку , получим 2 > 2.

Таким образом

.                               (1.19)

Следовательно неравенство (1.17) менее строгое, чем неравенство (1.18). Таким образом, использование адаптивных ожиданий делает модель более стабильной. Применение адаптивных ожиданий является одним из классических приемов стабилизации траектории динамической системы. Однако следует отметить тот факт, что не все динамические системы одинаково реагируют на введение этой стратегии управления. Известны случаи, когда адаптивные ожидания оказывались недостаточно рациональными для совершенствования механизмов управления, и приводили к обратному результату – снижению стабильности за счет сужения ее интервалов.

 

Модель внешней торговли

Как пример дальнейшего совершенствования мультипликаторной модели рассмотрим мультипликатор внешней торговли. Импорт является функцией дохода, а экспорт предполагается полностью экзогенным (позднее будет рассмотрена модель мультипликатора с внешнеторговой отдачей, снимающая это ограничение). В открытой экономике, совокупное предложение определяется как сумма национального продукта  и импорта ; совокупный спрос определяется как национальное потребление  плюс национальное инвестирование  плюс экспорт . Балансовым соотношением является уже не выражение , а выражение  или . В этом случае формальная модель выглядит следующим образом:

,

,

,

,

.

Подставляя первые четыре выражения в балансовое соотношение, получим

, (2.7)

решение которого имеет вид:

. (2.8)

Отметим, что мультипликатором является . «Потери» от импорта представлены величиной  – предельной склонностью к импорту.

Сумма  очевидно превосходит . Условие стабильности имеет вид  или , что гарантирует положительность мультипликатора . Условие стабильности также может быть преобразовано к виду

,                        (2.9)

то есть предельная склонность к инвестированию должна быть меньше суммы предельной склонности к накоплению и предельной склонности к импорту.

Интересное следствие возникает при рассмотрении вопроса о полной сбалансированности торговли. Предположим, что первоначально торговля сбалансирована (то есть ) и экспорт автономно увеличивается. Доход увеличивается в соответствии с мультипликатором внешней торговли и также увеличивается импорт, поскольку он – возрастающая функция дохода. Будет ли (вынужденное) увеличение в импорте полностью компенсировать (эндогенное) увеличение экспорта?

Формально имеем:

и

.

Откуда следует, что  в том и только в том случае, когда , то есть .

 

Налогообложение

Рассмотрим последнее совершенствование модели мультипликатора – модель с налогообложением. Для упрощения задачи предположим, что для закрытой экономики налогообложение является простой линейной функцией дохода,

.

Потребление в этом случае – это функция чистого дохода , который в нашей упрощенной модели может быть вычислен как , где  – уровень обесценения,  – трансфертные платежи, оба предполагаются эндогенными. Отсюда имеем

,

,

,                                (2.10)

,

,

где  – правительственные расходы. Простой подстановкой с последующим приведением подобных получаем

,

решение которого имеет вид:

.

Поскольку и , и  – положительны, траектория будет монотонной. Мультипликатор с налогообложением  меньше мультипликатора без учета налогообложения . Условие стабильности

                             (2.11)

является менее строгим, чем выражение (2.9), поэтому введение в модель налогообложения делает ее более стабильной.

 

 

Олигополия Курно

Вообще говоря, все экономические системы, даже наиболее простые из них, должны описываться системами уравнений. Тот факт, что многие из них исследуются в виде единственного уравнения, объясняется тем, что сведение системы уравнений к единственному уравнению напрашивается целиком естественно (то есть требуются только прямые подстановки без предшествующих преобразований), и этот метод гораздо проще, чем методы анализа систем уравнений. К примеру, однородная часть модели мультипликатора:

,

,

,

имеет характеристическое уравнение

где , и так далее. Однако прямая подстановка первых двух уравнений в третье является более очевидной и более простой альтернативой. С другой стороны, существуют экономические системы, у которых после такого приведения остается пара-тройка уравнений, для которых с успехом могут применяться методы анализа систем уравнений.

Общие положения, позволяющие описать поведение фирмы в статичных условиях, выводятся, прежде всего, благодаря допущению о том, что цена одного из продуктов несколько увеличивается, а также результатам анализа влияния этого роста на общую политику фирмы. Подобные положения следовало непосредственно выразить с помощью понятий динамики, если бы можно было предположить, например, что ожидаемая цена некоторого определенного продукта несколько повысится в некотором определенном периоде в буду­щем, скажем, речь шла бы о цене товара  которая, согласно ожиданиям, была установлена в периоде, наступающем через  периодов. Можно было бы рассматривать это как рост цены продукта . Применяя правила, пригодные для условий статики, прежде всего, следует уяснить, что неизбежно увеличение планируемого выпуска продукта . Это может служить результатом или увеличения количества применяемых ресурсов, или уменьшения выпуска других продуктов, или того и другого вместе. Увели­чение количества применяемых ресурсов может наблю­даться в текущий момент или планироваться. Выпускае­мые продукты, количество которых уменьшается, могут быть как одинаковыми, но изготавливаться в различных периодах (), так и разными (  или ). Далее всегда есть вероятность того, что некоторые из выпускаемых продук­тов окажутся дополняющими по отношению к , так что их производство будет соответственно расширено; вероят­но также (хотя эта вероятность и меньше), что некоторые из применяемых ресурсов окажутся регрессивными по отношению к продукту , поэтому их будет использо­ваться меньше.

Все это очень хорошо, но тем не менее вопрос о том, что происходит, когда ожидаемая цена определенного товара для определенного периода в будущем изменяется, это не тот вопрос, который должен нас сильно занимать. Наблю­даются случаи, довольно успешно объясняемые с помощью проведенного выше анализа; можно, например, усмотреть широкую применимость этого анализа в отношении такого, скажем, события, как объявление референдума, но это не типичный случай. Анализ экономической динамики предпочтительнее использовать в иных целях.

Изменения цен, последствия которых мы изучали при разработке статической теории, были изменениями реальных цен. И здесь нам также следовало бы иметь возможность изучить последствия изменения реальных цен, а не просто заниматься результатами изменений в ожиданиях. Теперь перед нами такого рода изменение рыночных цен, которое можно изучать путем непосредственного использования обычных положений: текущий выпуск продукции рассматривается как выпуск определенной продукции в определенном периоде, так что последствия изменения цен на такую продукцию можно выявить, применяя прежние правила. С точки зрения настоящего исследования это значит, что речь идет об изменении цен при данных ценовых ожиданиях. Нельзя допускать, что изменение в уровне текущих цен обусловливает иные ценовые ожида­ния, даже если это ожидания точно такой же цены. Ина­че говоря, изменение цены должно рассматриваться как чисто временное изменение.

Итак, если есть необходимость непосредственно применять в анализе основные правила статики, то необходимо удержаться от рассмотрения всякого рода изменений в уровне рыночных цен, кроме тех изменений, которые, как предполагается, носят временный характер. Нельзя учесть, как данные условия сказываются на ожиданиях. И все-таки, если мы хотим, чтобы настоя­щая теория привела к полезным выводам, необходимо рассмотреть это влияние.

Как представляется, можно выделить три вида воздействий, которым могут быть подвержены ценовые ожидания. Воздействия первого вида отличаются совершенно неэкономическим характером: это погодные условия, политические события, состояние здоровья людей, их «психология». Второго вида воздействия носят экономический характер, однако, они все-таки еще не связаны тесно с действительным движением цен. Это обычные рыночные «суеверия», с одной стороны, а также сообщения, связанные с будущим движением спроса и предложения (например, сводки об урожае), с другой.

Воздействия третьего вида выражаются в действительном движении цен, прошлом и настоящем, и как раз о последнем можно сказать больше всего.

В соответствии с целью нашего исследования, необходимо считать, что изменения ценовых ожиданий, связанные с воздействиями первого и второго видов, являются автономными. На текущем состоянии экономики эти воздействия могут, видимо, сказаться каким-либо таинственным косвенным образом, но нам нечего и думать как-то учесть это. Не следует забывать, что ценовые ожидания подвержены влиянию независимых факторов, в противном случае не стоило бы об этом и говорить.

Влияние действительных цен на ценовые ожидания, то есть рациональные, обоснованные предположения о ценах, которые установятся в ближайшем будущем, заслуживает дальнейшего анализа, но в этом случае нельзя указать простых приемов исследования. Даже если исключить из рассмотрения независимые факторы, придется обсудить два вопроса: влияние на ценовые ожи­дания нынешних цен и влияние прошлых цен. Это влия­ние весьма различно, и очень важно, какими ценами ожидания определяются сильнее.

Прошлые цены — это прошлые цены, поэтому они, с точки зрения нынешнего положения дел, являются просто данными; если их влияние на ценовые ожидания преобла­дает, то и эти ожидания можно рассматривать как дан­ные. С такого случая мы начали: изменение текущих цен не служит причиной перемен в ценовых ожиданиях; оно считается временным. Но как только прошлые цены перестают играть определяющую роль, мы должны допустить, что текущие цены так или иначе сказываются на ожида­ниях. При этом подобное влияние текущих цен может отличаться различной интенсивностью и сказываться во многих различных направлениях.

Введем в анализ характеристику меры воздействия, которое мы изучаем. Если исключить возможность того, что изменение текущей цены продукта может так или иначе сказаться на ценах товара , которые, как ожидается, установятся в различных периодах в будущем, и если также исключить возможность воздействия данного изменения текущей цены на ожидаемые в будущем цены прочих товаров или факторов производства (оба эти допущения очень серьез­ны), тогда мы сможем классифицировать данные случаи в соответствии с эластичностью ожиданий. Мы определяем эластичность ожиданий некоторого лица, связанных с це­ной товара , как отношение пропорционального увеличе­ния ожидаемых в будущем цен товара , к пропорциональ­ному увеличению текущей цены. Таким образом, если ожидания жестко неэластичны (эластичность ожиданий равна нулю), то перед нами случай, когда ожидания заданы. Если эластичность ожиданий равна единице, то изменение уровня текущих цен вызовет изменение (в том же направлении и в той же пропорции) ожидаемых цен. Если раньше предполагалось, что цены останутся без изменений, то теперь предполага­ется, что они сохраняются без изменений на новом уровне.

Считается, что цены изменяются непрерывно. Как очевидно, речь здесь идет о двух основных случаях. Однако полезно провести также различие между «промежуточ­ным» случаем, когда эластичность ожиданий меньше еди­ницы и больше нуля, и двумя «крайними» случаями, ког­да эластичность ожиданий больше единицы и когда элас­тичность ожиданий отрицательна. Эластичность ожиданий будет больше единицы, если изменения текущих цен носят такой характер, что люди считают себя способными распознать направление этих изменений и стремятся экс­траполировать события; эластичность ожиданий будет от­рицательной, если они строят противоположные догадки, полагая, будто данные изменения служат кульминацией в развитии событий.

Если, с точки зрения предпринимателя, эластичность ценовых ожиданий в отношении товара  равна единице (считается, что цена этого товара изменяется непрерывно), то повышение текущей цены товара  вызовет оди­наковое повышение всех его ожидаемых цен. Как мы обнаружили, изучая условия статики, изменение цен това­ров, образующих некий товарный набор, позволяет счи­тать этот набор единичным товаром, соответственно, все закономерности экономического поведения остаются в отношении данного набора товаров справедливыми, как если бы это был единичный товар. Если эластичность ожиданий равна единице, то повыше­ние текущей цены товара , установившейся на рынке, должно в целом вызвать увеличение планируемого выпус­ка товара . Здесь не остается возможностей для замеще­ния во времени, так что с данной точки зрения фактор времени можно не учитывать. Закономерности составле­ния производственного плана в точности совпадают с закономерностями, управляющими поведением фирмы в статичных условиях — будет обязательно наблюдаться расширение выпуска товара , когда либо растет объем применяемых ресурсов того или иного вида в том или ином периоде, либо происходит замещение товаром  других товаров (других в физическом смысле, а не в смысле вы­пуска одного и того же товара в разных периодах).

Если рассматривать планируемый выпуск товара  в целом, то он должен возрасти, однако нет, разумеется, причины, по которой это возрастание будет распределяться одинаково по всем периодам. Есть особые основания, чтобы предположить обратное. Дополнительный выпуск, который можно обеспечить за текущий период, а также выпуск, планируемый на ближайшие периоды, обычно оказываются незначительными. То первоначальное оснащение предприятия, которым располагает предприниматель в период составления плана, обыкновенно охватывает почти законченные изделия, намеченные к выпуску в ближай­шем и чуть более отдаленном будущем. Так как подобные почти законченные изделия могут храниться на предприятии лишь в ограниченном количестве, «подвижность» подобного рода выпуска по отношению к изменениям цены будет обязательно небольшой. Однако расширение выпуска, относящееся к отдаленному будущему, не наталкива­ется на подобное ограничение, точнее, это ограничение становится все менее заметным, по мере того как процесс производства «отодвигается» в будущее.

Классическая модель олигополии Курно (Cournot) сформулированная им в 1939 до сих пор рассматривается во многих учебниках по микроэкономике, где говорится о том, что она может быть интерпретирована в терминах современной теории игр. Также становится возможным дать динамическую интерпретацию этой модели, учитывая то, что вложил в нее Курно, когда писал о ее стабильности. Стабильность модели заключается в использовании процесса обучения, во время которого каждая фирма наблюдает за уровнем производства другой фирмы, и, таким образом, совершенствует свое собственное представление о поведении системы в целом. Точнее, в любом периоде  каждая фирма  наблюдает за уровнем производства остальных фирм и предполагает, что эти величины останутся неизменными в периоде . Таким образом, фирма  будет выбирать свой уровень производства исходя из своего мнения и данной рынком кривой спроса.

Интересным фактом, впервые обнаруженным Теохарисом в 1960 году, является то, что при формализации динамического поведения траектория дохода больше не остается стабильной, когда фирм больше, чем две.

Рассмотрим рынок с  олигополистическими фирмами, производящими однородную продукцию, и линейной кривой спроса

,                            (5.1)

где ,  и  – реальный уровень производства фирмы i в период времени . Также сделаем предположение, что предельные себестоимости  постоянны для линейных кривых затрат  каждой фирмы.

Таким образом, фирма устанавливает рыночную цену, основанную на своих представлениях о том, что уровни производства других фирм останутся неизменными, то есть

,                      (5.2)

на основании того, что каждая фирма  определяет  так, чтобы максимизировать свою прибыль .

Условия первого порядка для локального максимума , то есть

,

или

.                  (5.3)

Условия второго порядка  несомненно выполняются, поскольку в предположении, что . Следовательно, уравнение (5.3) дает требуемое решение. Рассмотрим дуополию, в которой условия первого рода образуют систему неоднородных разностных уравнений

,                      (5.4)

.

Характеристическое уравнение однородной части системы (5.4):

.

Откуда . Поэтому траектория будет сходиться по направлению к точке равновесия, которая получается подстановкой  в систему (5.3). Простые вычисления дают .

Это подтверждает утверждение Курно о том, что равновесие стабильно, то есть «если один из производителей собьется с пути, ведущего к его истинной заинтересованности, он снова будет на него повернут последовательностью реакций, постоянно уменьшающими амплитуду» [1]. Но это также содержит опасность того, что то, что выполняется для двумерных систем, не выполняется для n-мерных. Рассмотрим матрицу системы (5.3)

                  (5.5)

и характеристическое уравнение

.       (5.6)

Легко проверить, что  – корень характеристического уравнения. Действительно. Представьте себе характеристический детерминант, и добавьте, к примеру, его первые  столбцов к последнему (известно, что это не изменит детерминанта). Все элементы последнего столбца будут . Теперь, если мы положим , то получим детерминант со столбцом из нулей, что, собственно, и означает, что детерминант равен нулю. Отсюда следует, что  – корень характеристического уравнения.

Из этого следует, что для  система имеет корень равный –1 (неправильные колебания с постоянной амплитудой), для  эти колебания будут взрывными. Таким образом, система стабильна только при .

Эти результаты, однако, должны быть переосмыслены с учетом использования регулирующих лагов, различных предположений о формировании ожиданий, и т.п.

 

Основные понятия

Предметом изучения теории катастроф является классификация внезапных скачков или «катастроф» в поведении динамических систем. Рассмотрим семейство одномерных функций, параметризированных -размерным вектором :

. (12.1)

Пусть  будет аналитической функцией, которую можно записать в виде многочлена:

,             (12.2)

с некоторыми  возможно равными нулю.

Для заданного  график многочлена имеет различную форму, если некоторые параметры исчезают. К примеру рассмотрим случай, когда  с , . График  достаточно сильно отличается от графика . В зависимости от количества исчезающих параметров _i, могут возникнуть один или несколько экстремумов функции.

Теория катастроф сосредоточивает внимание на тех формах уравнения (12.2), которые являются структурно стабильными. Функция вида (12.2) с некоторыми  возможно равными нулю называется структурно стабильной, если количество и характер экстремумов этой функции не меняется, когда некоторые из этих  меняют значения. Отметим, что это определение вводится на функциональном уровне, поэтому, динамическая система является структурно стабильной, если ее кривые решений топологически эквивалентны, когда параметры изменяются.

К примеру, выражение  не является структурно стабильным, так как  имеет дополнительный экстремум. Можно показать, что для  полином  является структурно стабильным. Эта структурно стабильная форма полинома (12.2) для заданного  называется универсальной разверткой для . Количество отличных от нуля параметров, которое необходимо чтобы «стабилизировать»  для заданного , называется соразмерностью развертки, например  имеет соразмерность 2.

Теория катастроф доказывает, что для соразмерности  существует точно семь различных универсальных разверток, а именно четыре развертки для одноразмерного случая (12.2) и три развертки для трехмерного случая. Эти основные результаты были получены Рене Томом (Thom) и представлены в его классификационной теореме (1977), в которой универсальные развертки носят название «элементарные катастрофы». Таблица 12.1 показывает эти семь простейших универсальных разверток с соразмерностью  вместе с их названиями.

 

 

Таблица 12.1

Универсальные развертки с соразмерностью £ 4

Развертка	Соразмерность	Название
	1	складка
	2	сборка (точка возврата)
	3	ласточкин хвост
	4	бабочка
	3	сферический эллипс