Взаимосвязь акселератора и мультипликатора

Эта модель, которая была построена Самуэльсоном (Samuelson) с учетом предположений Хансена (Hansen) в 1939 году, по сути, является простейшей мультипликаторно-акселераторной моделью определения динамики дохода в производственном цикле. В состав этой модели в качестве «ингредиентов» вошли функция потребления, функция инвестирования (в которой присутствует как автономное, так и вынужденное инвестирование) и их соотношение, которое определяет состояние равновесия – равновесный доход. Функция потребления имеет вид

,                (3.1)

где потребление зависит от национального дохода с лагом в один период. Константа  – это предельная склонность к потреблению. Поскольку в модель включено инвестирование, мы выделяем вынужденное инвестирование  и автономное инвестирование .

Тогда

.                          (3.2)

Автономное инвестирование (а фактически – общественные расходы) предполагаем постоянными:

,                               (3.3)

где  – положительная константа.

Вынужденное инвестирование зависит от изменений спроса на товары потребления в соответствии с принципом акселерации:

,                       (3.4)

где  – коэффициент акселерации (в соответствии с терминологией Хансена).

Состояние равновесия

                           (3.5)

замыкает модель.

Простая подстановка дает следующее разностное уравнение второго порядка:

.                   (3.6)

Решение этого функционального уравнения дает поведение во времени национального дохода. Подставив его в уравнения (3.1) и (3.4) получим траектории потребления и инвестирования.

Частное решение уравнения (3.6) может быть легко найдено через , откуда

.                               (3.7)

Эту величину мы получаем применяя мультипликатор  к автономным расходам . Это частное решение определяет (стационарное) состояние равновесия национального дохода.

Отклонение от этого равновесного значения будет задаваться общим решением однородного уравнения, соответствующего уравнению (6.6), то есть

.

Характеристическое уравнение:

.                 (3.8)

Проведем качественный анализ уравнения (3.8). Для начала применим условия стабильности. Анализ показывает, что модель, заданная разностным уравнением второго порядка, проявляет стабильное поведение при выполнении следующих условий:

,

,

.

Для рассматриваемого случая условия стабильности:

,

,                                    (3.9)

.

Первое неравенство выполняется, поскольку мы предположили, что предельная склонность к потреблению меньше единицы (и это эмпирически правдоподобное утверждение); третье неравенство также выполняется, так как левая часть – это сумма положительных величин. Таким образом, критическое неравенство – второе. Следовательно, можно сказать, что условие стабильности

       или       .               (3.10)

В случае если мы заинтересуемся установлением характера поведения (монотонное, колебательное, и т.д.), необходимо отметить, что последовательность знаков коэффициентов в (3.8) «+», «-», «+». Это означает, что не может возникнуть ни одного отрицательного корня. Таким образом, можно исключить из рассмотрения случай с возникновением «неправильных» колебаний. Следующий шаг – это вычислить дискриминант уравнения (3.8). Он равен

,                         (3.11)

и, таким образом,

, если .

Откуда

, когда .                   (3.12)