Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

 

Учебно-методическое пособие

 

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Г723

 

Учебно-методическое пособие дает возможность получить практические навыки анализа функций с помощью разложения в ряд Фурье или представления интегралом Фурье и предназначено для самостоятельной работы студентов дневной и заочной форм обучения специальностей.

В пособии рассмотрены основные вопросы операционного исчисления и широкий класс технических задач с применением основ операционного исчисления.

 

Научный редактор проф. А.П. Господариков

 

Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета; доктор физ.-мат. наук В.М. Чистяков (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет).

 

Господариков А.П.

Г723. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Учебно-методическое пособие / А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян; Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2005. 102 с.

 

ISBN 5-94211-104-9

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Введение

 

Из теории Фурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические и другие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала, отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (их называют собственными) система реагирует наиболее простым образом. Если произвольный входной сигнал есть линейная комбинация собственных сигналов, а система линейна, то реакция системы на этот произвольный сигнал есть сумма реакций на собственные сигналы. И поэтому полную информацию о системе можно получить по «кирпичикам» – откликам системы на собственные входные сигналы. Так поступают, например, в электротехнике, когда вводят частотную характеристику системы (передаточную функцию). Для наиболее простых линейных, инвариантных во времени систем (например, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами) в некоторых случаях собственными функциями являются гармоники вида . Таким образом можно получить и результат произвольного воздействия на систему, если последний будет представлен в виде линейной комбинации гармоник (в общем случае, в виде ряда Фурье или интеграла Фурье). Вот одна из причин, по которой в теории и приложениях возникает потребность применения понятия тригонометрического ряда (ряда Фурье) или интеграла Фурье.

Глава 1. Ряды Фурье

Векторные пространства

 

Здесь приведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшего понимания основных положений теории рядов Фурье.

Рассмотрим множество W геометрических векторов (векторное пространство), для которого обычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярного умножения векторов.

Введем в пространстве W ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональных векторов ,  и . Произвольный вектор  является линейной комбинацией векторов базиса:

 

. (1.1)

 

Коэффициенты l _i (i = 1, 2, 3), называемые координатами вектора  относительно базиса , могут быть определены следующим образом. Скалярное произведение вектора  и одного из векторов базиса

 

.

 

В силу ортогональности базиса скалярные произведения  при , следовательно, в правой части последнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующее , поэтому , откуда

 

, (1.2)

где .

Если векторы  и  заданы своими координатами  и , то их скалярное произведение

 

.

 

Так как при скалярное произведение , то в двойной сумме отличны от нуля лишь слагаемые с равными индексами, поэтому

 

. (1.3)

 

В частности при  из (1.3) следует

. (1.4)

 

Глава 2. Интеграл Фурье

Сходимость интеграла Фурье

 

Пусть функция  определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [– L, L ] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:

 

, (11.1)

 

где

 

; (11.2)

 

  – частота k -й гармоники; .

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим

 

. (11.3)

 

При  величина . Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции  по переменной w в промежутке . Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при  вместо ряда получим интеграл

. (11.4)

 

Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье.

Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.

Теорема. Пусть функция , во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке , т.е. интеграл  сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (– L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к , т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка . Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.

 

§ 12. Преобразование Фурье

 

Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим

 

. (12.1)

 

Если функция  непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция непрерывна на промежутке . Действительно, так как , то

, (12.2)

 

и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех , поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно w. Отсюда и следует, что функция  непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).

Из (11.4) получим

 

. (12.3)

 

Комплексная функция , определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции . В свою очередь, формула (12.3) определяет  как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции . Равенство (12.3) при заданной функции  можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции , решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции  при заданной  дает формула (12.3).

В формуле (12.3) выражение  задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке  и суммарной комплексной амплитудой . Функция  называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде

,

 

можно трактовать, как разложение функции  в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке .

Равенства Парсеваля. Пусть и  – Фурье-образы вещественных функций  и  соответственно. Тогда

 

; (12.4)

 

, (12.5)

 

т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем . Заменив функцию  ее выражением (12.3) через Фурье-образ , получим

 

.

 

В силу (12.1)

 

.                

Поэтому , т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при .

Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция  четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать , также является вещественной четной функцией. Действительно,

 

.

 

Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,

 

. (12.6)

 

Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.

Из (12.6) следует, что функция  вещественна и четным образом зависит от w, так как w входит в (12.6) только через косинус.

Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает

 

= .

 

Так как и  – соответственно четная и нечетная функции переменной w, то

 

. (12.7)

 

Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.

Аналогично, если вещественная функция  нечетна, то ее преобразование Фурье , где  – вещественная нечетная функция от w. При этом

 

; (12.8)

 

. (12.9)

 

Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.

Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции  только для . Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке . В этом случае при  интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при  к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.

Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные «неберущиеся» интегралы.

Пример 1. Вычислить интеграл Лапласа .

Решение. Найдем Фурье-образ функции  где :

.

 

С помощью формулы обратного преобразования Фурье

 

 

получим

 

 

или

 

.

 

Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому

 

.

Пример 2. Вычислить разрывной множитель Дирихле , если .

Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции

 

 

получим

 

;

 

.

 

Таким образом,

 

 

В частности интеграл Дирихле

 

.

Пример 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона .

Решение. Сначала вычислим интеграл , применив к функции , где , преобразование Фурье и введя замену

 

= ;

 

 

.

 

Отсюда , и, следовательно, с заменой  можно записать

 

.

 

Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы

 

; .

 

Упражнение 2. Доказать, что

 

,

 

используя равенство Парсеваля.

 

§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье

 

Тот факт, что функция  является Фурье-образом функции , будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: .

Свойства преобразования Фурье:

1. Теорема линейности. , где . Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.

2. Теорема подобия. , где . Обозначив , получим

 

 

 

3. Теорема смещения. , где . Введя замену , получим

 

.

Следствие.

, (13.1)

где . Действительно,

 

.

 

4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций  и  называется функция

 

.

 

Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на : .

Так как по определению

 

,

 

то, выполнив во внутреннем интеграле замену , получим

 

=

= = ,

что и требовалось доказать.

5. Теорема об образе производной. Пусть функция  и ее производная  абсолютно интегрируемы на промежутке . По формуле Ньютона – Лейбница

 

.

 

Так как производная  интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при . Следовательно, существует конечный предел . При этом , ибо в противном случае функция  была бы неинтегрируемой на промежутке . Точно также доказывается, что .

Введем в рассмотрение Фурье-образ производной

 

.

 

Выполнив интегрирование по частям, получим

 

.

 

Так как внеинтегральный член равен нулю, то

 

.

Таким образом, операции дифференцирования функции  соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель . Аналогично, если функция  имеет абсолютно интегрируемые производные до n- го порядка включительно, то

 

 

, .

Следствия. 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.

2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.

Пример 1. Доказать, что

 

, (13.2)

 

где .

Решение. Положим

 

 

Тогда

 

Таким образом,

 

,

 

и по теореме о свертке

 

.

Пример 2. Найти решение уравнения

 

  (13.3)

 

при , удовлетворяющее начальному условию

. (13.4)

Замечание. Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.

Решение. Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на , проинтегрируем его по х от  до . Тогда

 

 

 

или

 

, (13.5)

 

где  – Фурье-образ функции .

Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:

 

.

 

Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции  переменной t, где w – параметр.

Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):

 

. (13.6)

Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция

 

.

 

С помощью (12.3) находим  – прообраз функции :

. (13.7)

 

Последний интеграл в (13.7) равен . Поэтому

 

.

 

По теореме о свертке

 

,

 

или

 

. (13.8)

 

Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона.

Пример 3. Найти решение волнового уравнения

 

, (13.9)

 

удовлетворяющее начальным условиям

 

. (13.10)

Замечание. Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией , физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны  – это отклонение струны от ее равновесного положения, функции j(х) и  задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа , где и r – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики  – скорость возмущенного движения в точке  в момент времени ;  – скорость звука в невозмущенной среде и т.д.

Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

 

 

где w – параметр.

Решение задачи имеет вид

 

 

Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера

 

 (13.11)

Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим

 

.

 

Тогда

 

. (13.12)

 

При  возмущение  сохраняет постоянное значение , если переменные  и  связаны зависимостью: . Иными словами, возмущенное состояние  переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью . Поэтому говорят, что функция  определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция  задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а – это скорость распространения возмущений в среде.

Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени  есть результат сложения волн  и , вышедших в момент времени  из точек с координатами  и  соответственно.

Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее:

1. Произвольную функцию  можно представить в виде «суммы» гармоник; если  задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если  задана на всей числовой оси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зрения приложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости, скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виде линейной суперпозиции гармонических колебаний.

2. В представлении формулы  в виде ряда или интеграла Фурье естественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции  и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию .

3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.

Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).

Приложения

 

Электрические цепи. Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником, поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсами других элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый момент времени  определяется двумя величинами: силой тока (током) , проходящего через двухполюсник, и падением напряжения (напряжением) на его полюсах. Для каждого двухполюсника функции  и  связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника.

Для сопротивления имеет место закон Ома

 

,

где  – сопротивление двухполюсника.

Для индуктивности справедливо соотношение

 

,

 

где  – индуктивность двухполюсника.

Для конденсатора выполняется соотношение

 

,

 

где С – емкость конденсатора;  – начальный заряд на его обкладках.

В дальнейшем будем считать, что в начальный момент времени  цепь была свободна от токов и зарядов, что соответствует задачам включения.

Если ввести операторный ток  и операторное напряжение  как изображения функций  и  соответственно, то вышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:

 

.

 

Последние соотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома

 

,

 

где операторное сопротивление (импеданс) в случае активного сопротивления, индуктивности и емкости принято в виде соответственно . Величину, обратную ,  называют операторной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.

При последовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями  и  имеем ;  и , откуда , и следовательно, импеданс цепи . Аналогично, при параллельном соединении двух элементов с адмитансами  и  получим , , , откуда , и следовательно, адмитанс цепи .

Таким образом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепей рассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например, если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления , индуктивности  и емкости , шунтированной сопротивлением , то ее импеданс .

Если электрическая цепь с адмитансом  включена на эдс , то операторный ток в ней определяется соотношением , .

Как правило, операторная проводимость цепи  представляет собой рациональную дробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости , что, как следует из теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключает возможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний.

Если эдс  является ограниченной функцией времени, то полюсы функции  имеют неотрицательные вещественные части, и следовательно (см. замечание 2 к теореме Хевисайда), по истечении достаточно длительного промежутка времени в системе устанавливается стационарный режим, при котором ток

 

,

где ;  – чисто мнимые полюсы функции  с положительными мнимыми частями;