Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2019-08-03 | 161 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов и называется функция
.
Функции f (t) и g (t) называются компонентами свертки.
Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функции Имеем . Так как при то
. (16.1)
Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е. , следует самостоятельно.
Теорема 1. Если и , то
.
Действительно, по определению (14.3) имеем
,
где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств
Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим
.
Введем вместо t новую переменную . Тогда
,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти оригинал , если его Лаплас-образ .
Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известны оригиналы:
.
Так как
,
то по теореме 1 имеем
.
Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:
,
где а и b – постоянные.
Упражнение 2. Найти свертку функций и .
Интегрирование и дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы следующие теоремы.
Теорема 2. Если то .
Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда
.
Теорема 3. Если и – оригиналы и , то
. (16.2)
В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь
.
Тогда по теореме 1
.
Отсюда , что и требовалось доказать.
Применив формулу (16.2) дважды, получим
и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.
Дифференцирование и интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа:
|
1. Если – оригинал с показателем роста , то его изображение имеет в области производные любых порядков.
2. При том же условии пределы, производные и интегралы от в области можно находить, выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).
Теорема 4. Если , то , т.е. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на . Действительно, дифференцируя (14.3) по параметру p, получим
.
Справа стоит интеграл Лапласа для функции , следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Применив несколько раз теорему 4, получим
.
Теорема 5. Если – оригиналы и , то
,
т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на . Так как в силу (14.3) имеем , то
.
Поскольку при и , то
.
Рассмотрим функции
.
По теореме 4 имеем
.
Так как , то по теореме 5
.
Точно так же получим
.
Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса
.
Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами.
Следствие 1. Если сходится интеграл
, (16.3)
то
. (16.4)
Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение непрерывно в замкнутой области . Переходя к пределу в (14.3) при , приходим к требуемому результату.
Следствие 2. Если сходится интеграл , то
.
Так как , то в силу (14.4)
.
Для справедливо равенство
.
Следствие 3. Если – оригиналы, то . Действительно, по теореме 3
. (16.5)
С другой стороны, (см. § 14). Переходя к пределу в (16.5) при , получим требуемый результат.
Следствие 4. Если – оригиналы и существует конечный предел , то
. (16.6)
Исходим из равенства
. (16.7)
В силу (14.4) и теоремы 3
. (16.8)
Из (16.7) и (16.8) получаем (16.6).
Формула (16.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при , имея в своем распоряжении только их изображения.
|
Упражнение. Вычислить несобственный интеграл , где .
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!