Ряды Фурье для комплексных функций

 

Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида , где i – мнимая единица,  – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом  множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке .

Скалярным произведением функций  назовем комплексное число

 

,

 

где  – функция, комплексно сопряженная с функцией . свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:

1.

2. билинейность

 

, .

 

Доказать свойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно.

Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение нормы функции оставим прежним, так что

 

.

 

Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:

1. теорема косинусов.  

или в более общем виде

 

. (9.1)

2. Обобщенная теорема Пифагора. Если , то

 

.

 

Доказать свойства 1 и 2 следует самостоятельно.

3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции  и  непрерывны, то .

В самом деле, если , то  на , и доказываемое неравенство выполняется. Пусть . Число  очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (9.1), где  и , имеем

 

.

 

Таким образом, , а так как , то , что и требовалось доказать.

Пусть теперь система комплексных функций

 

 (9.2)

 

ортогональна на промежутке . Сопоставим функции  ее ряд Фурье

 (9.3)

 

где коэффициенты Фурье

 

.

 

Введем обозначения:  – частичная сумма ряда Фурье;  – произвольная линейная комбинация функций  где .

Тогда, так же, как для вещественных функций (см. § 3), выполняется неравенство

 

 (9.4)

 

где , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т.е. среди всех функций  функция  дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции .

Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в § 3:

а) если для некоторой функции  выполняется равенство Парсеваля

 

, (9.5)

то ряд (9.3) сходится в среднем к , т.е. ;

б) ортогональная система функций (9.2) называется замкнутой на промежутке , если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из .

Введем в рассмотрение систему комплексных функций

 

. (9.6)

Свойства системы функции (9.6) следующие:

 

1. .

 

2. Функции  являются 2 L -периодичными: .

3. Система функций (9.6) ортогональна на промежутке [– L, L ]. Действительно, при  

 

.

 

Здесь использована формула .

 

4. .

 

Ряд Фурье для функции  по системе функций (9.6) имеет вид

, (9.7)

 

где коэффициенты Фурье

 

. (9.8)

 

Система функций (9.6) замкнута на [– L, L ] (принимаем без доказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения:

а) ряд (9.7) сходится в среднем к ,

б) для любой функции из  выполняется равенство Парсеваля ,

в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции  частичной суммой  ее ряда Фурье,

 

.

Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции  удовлетворяют на промежутке [– L, L ] условиям Дирихле, то функция  является суммой своего ряда Фурье:

 

. (9.9)

 

При этом предполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функции в точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3).

Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следует неравенство Бесселя .

Упражнение 2. Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4.