Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2019-08-03 | 324 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Из формулы (3.3) с учетом того, что величина по определению не отрицательна, следует
. (4.1)
Левая часть неравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числового ряда
. (4.2)
Положительный ряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно, сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при , получим неравенство Бесселя
. (4.3)
Возвращаясь к формуле (3.3), заметим, что с увеличением п величина уменьшается, оставаясь неотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательная последовательность сходится. из (3.3) получим ее предел
. (4.4)
Если , где – частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции . В этом случае из (4.4) следует
(4.5)
Соотношение (4.5) называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модуля вектора.
Замечание. Из сходимости ряда в среднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова.
Если равенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества , или, что то же самое, для любой функции из ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная система называется замкнутой, а соотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например, являются системы функций из упражнения в §3. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящего пособия.
Свойства замкнутых систем следующие:
1. Если непрерывная функция ортогональна всем функциям замкнутой системы, то она тождественно равна нулю. Действительно, в этом случае все коэффициенты Фурье равны нулю. Из (4.5) следует, что , и тогда (см. § 2,свойство нормы 2)
Таким образом, к замкнутой системе функций нельзя присоединить никакой новой функции, отличной от тождественного нуля, которая была бы ортогональна ко всем . Это свойство замкнутой системы функций называют ее полнотой.
|
Следствие. Если две непрерывные функции и имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они тождественно совпадают. Доказательство этого утверждения следует найти самостоятельно.
2. Пусть и – коэффициенты Фурье функций и относительно замкнутой ортогональной системы . Тогда
(4.6)
где, как и ранее,
Соотношение (4.6) называется обобщенным равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.3) для скалярного произведения векторов.
Так как для функций коэффициенты Фурье, очевидно, равны , в силу замкнутости системы из (4.5) следует
Вычитая почленно эти равенства и используя тождества
получим равенство (4.6).
3. Если – замкнутая ортогональная система функций, то
, (4.7)
т.е. интеграл от функции можно получить почленным интегрированием ее ряда Фурье. Для доказательства достаточно применить формулу (4.6) к функциям и
и учесть, что в этом случае . Тогда
Отметим, что справедливость формулы (4.7) установлена даже без предположения о сходимости ряда Фурье.
Упражнение. Доказать, что если ряд Фурье сходится равномерно на промежутке [ а, b ] к функции , то он сходится в среднем к этой функции.
§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [– L, L ]
Система функций
(5.1)
ортогональна на промежутке [– L, L ] (см. упражнение в § 3).
Показать, что следует самостоятельно.
Каждой функции , кусочно-непрерывной на промежутке [– L, L ], сопоставим ее ряд Фурье:
. (5.2)
Коэффициенты Фурье , в соответствии с (3.1), определятся формулами
(5.3)
Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.
Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид
|
. (5.4)
Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции на промежутке [– L, L ].
Частичные суммы
тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции ее тригонометрическим полиномом Фурье,
. (5.5)
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!