Банкомат не сломался. Значит, кончились деньги» и «В понедельник

студент-вечерник был либо на занятиях, либо на работе. Он был

На работе. Следовательно, на занятиях его не было».

Условно-разделительные (лемматические) умозаключения. Эти умозаключения содержат несколько импликативных и одну дизъюнктивную посылку. В дизъюнктивной посылке разделяются определенные варианты развития событий, каждый из которых имеет свое следствие. Рассмотрев и сравнив эти следствия, мы приходим к одному общему заключению. Если число рассматриваемых вариантов равно двум, такие умозаключения называются дилеммами:

A ÉC, B É C, A Ú B - простая конструктивная дилемма

C

 

A É B, A É C, ØB Ú ØC - простая деструктивная дилемма

ØA

 

A É C, B É D, A Ú B - сложная конструктивная дилемма

C Ú D

 

A É С, B É D, ØC Ú ØD - сложная деструктивная дилемма

ØA Ú ØB

 

В простых дилеммах заключение представляет собой простое суждение, в сложных – разделительное. В конструктивных дилеммах заключение является утвердительным, в деструктивных – отрицательным.

Если рассматривается три возможных варианта положения дел, такие умозаключения называются трилеммами, если больше – полилеммами.

15. Исчисление предикатов. Кванторные правила и ограничение переменных.

16. Основные способы построения вывода в исчислении высказываний. Понятие подвывода.

17. Классическая логика предикатов. (дополнить)

Логика предикатов - центральный раздел логики, в котором изучается субъектно-предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними.
Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний.

Предикаторы – это термины, с помощью которых в языке представляются предметно-истинностные функции. Высказывания рассматриваются как нульместные предикаторы. В состав простых высказываний могут входить логические термины (кванторы) – указывают на количество. Квантор общности (все, всякий, каждый, любой, не один) и квантор существования (некоторый, существует, имеется).

Язык классической логики предикатов:

I. Алфавит:

· a, b, c, d, a₁, … - индивидные константы (параметры простых имен).

· x, y, z, x₁, … - индивидные переменные (параметры сложных имен).

· fⁿ, gⁿ, hⁿ, fⁿ₁, - предметные функторы.

· Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, Sⁿ, Pⁿ₁, - предикаты. Это все нелогические символы.

· ù, &, V, V, É, º - пропозициональные связки.

· ", $ – кванторы.

· (,),, - технические символы.

II. Определение терма.

1) Всякая индивидная константа является термом.

2) Всякая индивидная переменная является термом.

3) Если Ф – предметный функтор, а t₁, t₂, …, t_n – это термы, то Фⁿ (t₁, t₂, …, t_n) – это термы.

4) Ничто иное не является термом.

III. Определение формулы:

1) Если Пⁿ – предикат, а t₁, t₂, …, t_n – термы, то Пⁿ(t₁, t₂, …, t_n) – формула.

2) Если А – формула, то ùА – тоже формула.

3) Если А и В – формулы, то (А&В), (АVВ), (A V В), (АÉВ), (АºВ) – формулы

4) Если А – формула, а a - индивидная переменная, то "aА(a), $aА(a) – формула.

5) Ничто иное не является формулой.

Формулы 1 пункта – атомарные, а 2-4 пунктов – молекулярные.

Язык и семантика КЛП.

С семантической точки зрения выражения языка можно подразделить на категории в зависимости от того, какой тип значения им соответствует. Впервые теорию семантических категорий создал польский логик К. Айдукевич.

Базисными семантическими категориями являются имя (n) и предложение (s). Под именем имеется в виду выражение, обозначающее какой-либо предмет или множество предметов; под предложением – выражение, обозначающее истину или ложь. Все остальные семантические категории представляют собой функции, преобразующие некоторое количество выражений одной базисной категории в выражение другой (либо той же самой) базисной категории. Например, союз «и» соединяет два предложения в одно, более сложное. Значит, он имеет сематическую категорию ss/s (преобразует два разных выражения типа s в одно выражение типа s).

Как замечал К. Айдукевич, все богатство семантических категорий естественного языка чрезвычайно трудно описать. Наиболее хорошо изученными в логике являются следующие категории:

Семантическая категория	Сим-вол	Тип значения	Пример
Предложение (пропозиция)	s	Истинностные значения (истина или ложь)	«Лондон–столица Англии» «Лондон – большой город»
имя	n	предметы	«Лондон», «город», «Англия» (в выражениях типа «Лондон – большой город» и «Лондон – столица Англии»)
функтор	n/n, nn/n	предметно-предметные функции	«столица» (в выражениях типа «Столица Англии – большой город»)
предикатор	n/s, nn/s	предметно-истинностные функции	«большой» (в выражениях типа «Этот город – большой»)
пропозициональная связка	s/s, ss/s	истинностно-истинностные функции	«и», «или», «если то», «не», «хотя»

Семантические принципы

Принцип однозначности: каждое имя должно иметь только одно значение (экстенсионал). С нарушением этого принципа связана ошибка, которую называют «подмена значения».

Существование Плутона было доказано астрономами.

Плутон – это бог.

Существование бога было доказано астрономами.

Здесь слово «Плутон» используется в двух значениях: в первой посылке имеется в виду планета Солнечной системы, во второй – божество из древнегреческой мифологии. Когда значения слова различаются столь явно, подмену заметить легко. Но если они хотя бы частично совпадают друг с другом, например одно является обычным, а другое – расширительным (или, наоборот, специализированным), ошибка может остаться незамеченной. Иногда подмена значения производится в несколько шагов, каждый из которых сам по себе не вызывает подозрения.

Принцип предметности: предложение должно говорить о предметах, обозначаемых входящими в него именами (а не о самих этих именах). С нарушением этого принципа связана ошибка, которую называют «автонимное употребление имен».

Сравните два предложения: 1) Стул – это предмет мебели, 2) Стул – это существительное. В первом слово "стул" употребляется правильно, поскольку речь идет о предмете, а во втором – автонимно, поскольку речь идет о самом этом слове. Чтобы избежать подобных ошибок, надо всегда использовать кавычки в тех случаях, когда требуется сказать что-то о выражениях языка. Предложение «"Стул" – это существительное» построено правильно. Если же пренебречь кавычками, мы рискуем получить довольно нелепый вывод:

Стул – это существительное.

Некоторые стулья имеют четыре ножки

Некоторые существительные имеют четыре ножки.

Принцип взаимозаменимости: при замене имен с одинаковым значением, предложение, в котором эта замена осуществляется, не должно изменять свое истинностное значение (истинное предложение должно оставаться истинным, а ложное – ложным).

Пусть дано предложение «Земля вращается вокруг Солнца». Заменим «Солнце» на «центральное тело Солнечной системы». Очевидно, что значения этих выражений совпадают. В результате такой замены из истинного предложения получаем другое истинное предложение: «Земля вращается вокруг центрального тела Солнечной системы».

Принцип взаимозаменимости кажется самоочевидным, однако существуют языковые контексты, в которых замена равного равным приводит к противоречию. Рассмотрим предложение «Птолемей считал, что Солнце вращается вокруг Земли». Он считал, что это истинно. Проверим это. Заменим слово «Солнце» на выражение «центральное тело солнечной системы», имеющее то же значение. Получим заключение: «Птолемей считал, что центральное тело солнечной системы вращается вокруг Земли», которое является абсурдным.

В логике подобные ситуации известны как «антиномии отношения именования» – они возникают, когда некий объект известен (приятен, доступен и т.д.) субъекту в одном аспекте, и неизвестен (неприятен, недоступен и т.д.) в другом. Отсюда порой проистекает кажущаяся несовместимость двух обозначений одного и того же объекта.

Как же сохранить принцип взаимозаменимости и избежать антиномий? Следует различать два способа употребления языковых выражений. Первый – экстенсиональный, при котором выражения просто выделяют предметы. Второй – интенсиональный: предметы, обозначаемые выражениями, рассматриваются в определенном смысле, аспекте (показателем чего могут служить так называемые эпистемические операторы – слова «знает» «верит», «ищет», «думает» и т.п.). Если выражение употребляется в определенном аспекте, то его можно заменить другим выражением с тем же значением, только если во втором выражении предметы рассматриваются в том же аспекте.