Отношения между понятиями, их характеристика.

Между понятиями существуют объективные, независящие от человека отношения. Прежде всего, это отношения сравнимости и несравнимости.

Два понятия aА(a) и aВ(a) являются сравнимыми, если и только если их универсумы совпадают. Например, понятия о преступнике и о жертве преступления являются сравнимыми. Оба они относятся к одной и той же предметной области – универсуму людей.

Два понятия aА(a) и aВ(a) являются несравнимыми, если они относятся к различным универсумам. Например, понятие о четном числе и понятие о европейской столице являются несравнимыми, поскольку первое из них имеет своим родом универсум чисел, а второе – универсум городов.

Среди всевозможных пар сравнимых понятий можно выделить три фундаментальных отношения в том смысле, что с их помощью возможно задать все остальные отношения. К числу фундаментальных принадлежат отношения совместимости, включения и исчерпывания.

Фундаментальные отношения:

1) Понятия aА(a) и aВ(a) находятся в отношении совместимости, если и только если пересечение их объемов А и В не пусто, то есть АÇВ ¹ Æ. Это означает, что в универсуме имеется по крайней мере один элемент, обладающий как признаком А(a), так и признаком В(a) ( например, А – студент, В – спортсмен).

2) Понятие aВ(a) находится к понятию aА(a) в отношении включения если и только если при вычитании объема aА(a) из объема aВ(a) получается пустое множество, то есть В\A = Æ. Это означает, что всякий элемент универсума, обладающий признаком В(a), обладает также признаком А(a) (например, А – учащийся, В – студент).

3) Понятия aА(a) и aВ(a) находятся в отношении исчерпывания, если и только если объединение их объемов А и В равно универсуму, то есть АÈВ = U. Это означает, что каждый элемент универсума обладает признаком А(a) или признаком В(a) (например, А – сын, В – дочь; каждый человек является чьим-то сыном или дочерью).

Вспомогательные отношения выводятся из фундаментальных. Наиболее важными из них являются: равнообъемность, подчинение, соподчинение, противоречие, дополнение, перекрещивание.

(1) А и В равнообъемны (2) А подчиняется В (3) А и В соподчиняются

 

А, В А В А В

 

 

(4) А противоречит В (5) А дополняет В (6) А и В перекрещиваются

А В А В А В

 

 

 

Помимо булевых операций, к понятиям часто применяются такие операции обобщение и ограничение. Они основаны на отношении типа «род-вид». Из двух непустых понятий одно считается родовым, а другое видовым, если второе находится в отношении подчинения к первому. Это отношение на формальном языке обозначается символом «Ì».

Например, из двух понятий aА(a) «европейский город» и aВ(a) европейская столица» первое является родовым, а второе – видовым. То есть, В Ì А. Интересно, что содержания этих понятий находятся в обратном отношении, а именно, содержание aА(a) является частью содержания понятия aВ(a). Этот факт известен в логике как закон обратного отношения.

Закон обратного отношения: объем понятия aА(a) составляет часть объема понятия aВ(a), если и только если содержание понятия aВ(a) является частью содержания понятия aА(a). На формальном языке: А Í В º А(a) É В(a)

Сравним, например, два понятия:

1) «студент, сдавший все экзамены» и

2) «студент, сдавший хотя бы один экзамен»

Объем первого понятия включается в

объем второго (среди студентов, сдавших

хотя бы один экзамен, есть такие, кто сдал

все экзамены). А вот содержания этих

понятий находятся в обратном отношении:

из содержания первого (сдать все экзамены)

логически следует содержание второго (сдать

хотя бы один экзамен).

Обобщением называют переход от видового понятия к родовому (то есть, от понятия с меньшим объемом и большим содержанием, к понятию с большим объемом и меньшим содержанием). Для непустых понятий пределом обобщения является универсальное понятие.

Например: «мужчина, который является президентом России» → «мужчина, живущий в Кремле» → «мужчина, живущий в Москве» → «мужчина, живущий в России» → «мужчина, живущий в деревне» → «мужчина»

Ограничением называют переход от родового понятия к видовому (то есть, от понятия с большим объемом и меньшим содержанием, к понятию с меньшим объемом и большим содержанием). Для непустых понятий пределом ограничения является единичное понятие.

Например: «человек» → «человек, живущий в Европе» → «человек, живущий в Москве» → «человек, живущий в ЗАО Москвы» → «человек, являющийся нынешним префектом ЗАО Москвы».

31. Дедукция и индукция как способы познания.

Индукция ( лат. inductio — наведение) — процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления.

Дедукция (лат. deductio — выведение) — метод мышления, при котором частное положение логическим путем выводится из общего, вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждений), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования.

Довольно часто в логике применяются способы умозаключения, приводящие к получению принципиально новой информации. При этом мы используем имеющиеся в посылках сведения как «подсказку», «намек», наводящий на мысль о возможности принятия некоторого умозаключения. Высказывание в этом случае строится следующим образом: если информация, содержащаяся в посылках A₁, …, A_n верна, то правдоподобно было бы считать, что верно и В.

A₁, …, A_n ú»В

Такие умозаключения получили название индуктивных (от лат. «inductio» – «наведение»), или правдоподобных.

К числу правдоподобных умозаключений относятся собственно обобщающая индукция, методы установления причинных зависимостей (исключающая индукция) и аналогия.

Под обобщающей индукцией понимаются такие умозаключения, в которых переходят от знания об определенных предметах некоторого класса к знанию обо всех предметах этого класса, то есть от единичных или частных утверждений к общим. Различают полную и неполную индукцию.

Полная обобщающая индукция – это умозаключение от знания об отдельных предметах некоторого класса, при условии исследования каждого предмета, входящего в этот класс, к знанию обо всех предметах этого класса. Полная индукция, по методу обоснования вывода, делится на: математическую и эмпирическую.

Математическая индукция – способ рассуждения, который часто используется в дедуктивных науках (логике и математике). Он применяется в тех случаях, когда исследуемый класс S задан индуктивным определением. Как вы помните, индуктивное определение состоит в том, что первоначально некоторые объекты прямо объявляются принадлежащими данному классу S. Все же остальные объекты порождаются из исходных с помощью каких-либо процедур f₁…f_n. Чтобы доказать наличие у всех предметов класса S свойства Р, применяют следующую схему рассуждения:

1. х₁ есть P базис индукции

2. S = {х₁, f₁(х₁), …, f_n(х₁)} индуктивное определение класса S

3. "х"f_j (х есть P) É (f_j(х) есть Р) индуктивный шаг

SaP индуктивное обобщение

Допустим, нам надо доказать, что все четные числа делятся на два. Воспользуемся индуктивным определением класса четных чисел: (1) 2 есть четное число, (2) все остальные четные числа получаются с помощью применения к двойке операций «f₁(x) = х+2» или «f₂(x) = х–2» n-го числа раз. Базис индукции очевиден: 2 делится на два. Индуктивный шаг состоит в том, что если некое число х делится на два, то х+2 и х–2 тоже делятся на два. Вывод: все четные числа делятся на два.

Математическая индукция дает достоверное знание. Всеобщность вывода определяется здесь знанием законов порождения исследуемого класса объектов.

Полная эмпирическая индукция достигает всеобщности вывода другим путем – сплошной эмпирической (опытной) проверкой исследуемого класса. Логическая схема этого способа рассуждения такова:

1. x₁ есть P

2. x₂ есть P

. эмпирические факты о классе М ={x₁, …, x_n}

.

.

n. x_n есть P

n+1. M = S

SaР индуктивное обобщение

 

Достоверность заключения по полной обобщающей эмпирической индукции определяется тем, что условная вероятность вывода при данных посылках равна 1. Ведь множество исследованных предметов М совпадает с классом S, о котором идет речь в заключении, а при m = s величина 1/2^s-m равняется единице.

Полная эмпирическая индукция является ограниченным познавательным приемом. Во-первых, она может применяться лишь в тех случаях, когда класс S конечен и легко обозрим. Чтобы доказать полной индукцией, что все рыбы дышат жабрами, пришлось бы выловить всех рыб, а это в принципе невозможно.

Во-вторых, даже если класс S конечен, сплошная его проверка иногда требует таких огромных затрат, на которые общество не может пойти. Например, для установления того, что все граждане страны испытывают единодушное согласие по поводу какого-то важного государственного вопроса, можно провести поголовное голосование – референдум. Однако эта процедура требует больших затрат времени, материальных и людских ресурсов.

Как в теории, так и на практике возникают различные причины, по которым сплошная проверка бывает невозможной. В таких случаях применяется процедура неполной обобщающей индукции. Обобщающая индукция называется неполной, если в ней осуществляется частичная проверка предметов исследуемого класса.

Неполная обобщающая индукция делится на: популярную и научную. Схема популярной индукции имеет следующий вид:

1. x₁ есть P

2. x₂ есть P

. эмпирические факты о классе М ={x₁, …, x_n}

.

.

n. x_n есть P

n+1. MÌ S

SaР индуктивное обобщение

 

Отличие популярной индукции от полной состоит в n+1-ой посылке. При полной индукции класс М в точности совпадает с классом S. При индукции популярной он составляет лишь часть этого класса. Ясно, что истинность заключения в данном случае является проблематичной. Ведь среди непроверенных предметов из S могут быть и такие, которые свойством Р не обладают.

Пример ложного заключения, полученного посредством популярной индукции, – предложение «Все волки серы».

Рассматриваемое рассуждение называется популярной (народной) индукцией в силу своей наивной простотой. Эта простота проявляется прежде всего в том, что на наличие свойства Р проверяются первые попавшиеся объекты. После чего проводится поспешное обобщение – типичная ошибка индуктивного рассуждения. Однако вывод по неполной индукции можно существенно усовершенствовать и добиться повышения степени правдоподобности получаемых результатов.

Научная индукция проверяет на наличие свойства Р не первые попавшиеся предметы класса S, а те из них, которые специально отобраны для этой цели. При этом весь исследуемый класс S называют генеральной совокупностью, а множество отобранных из него образцов – выборкой. Выборка подвергается сплошной проверке, а затем полученный результат переносится на всю генеральную совокупность.

Для надежного обосновани я такого переноса требуется, чтобы выборка была репрезентативной. Это означает, что выборка должна достаточно точно передавать структуру класса S, разнообразие его состава, и в частности, те его особенности, которые могут влиять на отсутствие свойства Р. В таких случаях условимся говорить, что М репрезентирует S, сокращенно M @ S. Схема научной индукции такова:

 

1. x₁ есть P

2. x₂ есть P

. эмпирические факты о классе М ={x₁, …, x_n}

.

.

n. x_n есть P

МaР полная индукция

n+1. M @ S утверждение о репрезентативности выборки

SaР индуктивное обобщение

 

Добиться репрезентативности выборки можно двумя различными способами. Первый способ основан на выдвижении некоторых гипотез о том, в силу каких причин у предметов исследуемого класса может отсутствовать свойство Р. Например, если проверяется доброкачественность партии молочных продуктов, то отсутствие этого свойства (недоброкачественность) может зависеть от срока хранения продукта, от условий его хранения, от того, какое предприятие выпустило продукцию, и других параметров. Именно такие «подозрительные» образцы включаются в выборку и подвергаются проверке. Если гипотезы точно фиксируют все случаи, в силу которых продукция может оказаться недоброкачественной, и если в генеральной совокупности S таковая имеется, то в выборку обязательно попадет какое-то ее количество.

У данного метода два недостатка. Первый связан с тем, что у нас могут отсутствовать хоть какие-то разумные гипотезы для объяснения свойства Р. Второй же состоит в том, что мы можем по тем или иным причинам упустить какой-то важный параметр, от которого зависит отсутствие свойства Р. Тем самым будет делаться определенная систематическая ошибка, которая и приведет к неверным результатам.

Чтобы исключить эти недостатки, применяют второй способ формирования выборки, порождая ее чисто случайным образом. Для этого используют специальные таблицы случайных чисел. Но чтобы такая случайная выборка оказалась репрезентативной, она должна быть достаточно объемной. Согласно закону больших чисел, закономерности, которым подчиняются массовые явления, обнаруживаются лишь при достаточно большом числе наблюдений.