Основная теорема матричных игр Джона фон Неймана и седловая точка функции.

Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях, т. е. существует цена игры в смешанных стратегиях V и оптимальные смешанные стратегии P⁰ и Q⁰ соответственно игроков А и В, т. е. V= V =maxα(P)= V(верх)= min ß(Q)= α(P⁰)=ß(Q⁰)=F(P⁰, Q⁰)

Определение седловой точки: пусть задана функция выигрыша F(P,Q) действительная функция из P?S_A,Q?S_B, точка (P⁰,Q⁰) – седловая точка P⁰?S_A,Q⁰?S_B если F(P,Q⁰)≤ F(P⁰,Q⁰)≤ F(P⁰,Q) для любого P⁰?S_A, Q⁰?S_B

левая часть: max функции F(P,Q⁰) достигается в точке (P⁰,Q⁰), то есть max F(P,Q⁰)= F(P⁰,Q⁰)

правая: min функции F(P⁰,Q) достигается в точке (P⁰,Q⁰), то есть min F(P⁰,Q)= F(P⁰,Q⁰)

max F(P,Q⁰)= F(P⁰,Q⁰)=min F(P⁰,Q) Это и означает существование седловой точки функции .

Рассмотрим для антогонистической игры для чистых стратегий: элемент матрицы aij – седловая точка, если minmax aij=maxmin aij= aij = гамма

 

16. Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.

Пусть матрица А размером 2*2 не имеет седловой точки, т.е. решения в чистых стратегиях. Тогда каждый из игроков и обладает единственной оптимальной смешанной стратегией соответственно P*=(p₁*,p₂*) и Q*=( q₁*,q₂* ), где

p₁^*=(а22-а21)/(а11+а22-а12-а21)

p₂^*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)

v = (а22*а11-а12*а21)/(а11+а22-а12-а21)

q₁^*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)

q₂^*=(а11-а21)/(а11+а22-а12-а21)

Рассмотрим функцию выигрыша игрока A более подробно: F(P,Q)=∑∑p_ia_ijq_j

(P, Q)? S_A*S_B

Примем также следующие обозначения:

p=p1, p2=1-p

q=q1, q2=1-q

Пусть m=2 и n=2,

тогда F(P,Q)=p(qa11+(1-q)a12)+(1-p)(qa21+(1-q)a22)

Представим в явном виде функцию как линейную функцию с аргументом (независимой переменной) q. Получим следующее выражение:

F(P,Q)=(a22+p(a12-a22))+q(p(a11-a12-a21+a22)+(a21-a22))

Если

p(a11-a12-a21+a22)+(a21-a22)>0, т.е. если

p>(a22-a21)/(a11-a12-a21+a22), график функции имеет положительный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать свои потери (минимизировать функцию), выбирая свою второю чистую стратегию, т.е. реализуя смешанную стратегию Q=(0;1),q=0. В итоге исход игры определится результатом гамма= F(P⁰,Q⁰)=a22+p(a12-a22)

Если p(a11-a12-a21+a22)+(a21-a22)<0, т.е. если

p<(a22-a21)/(a11-a12-a21+a22),, график функции имеет отрицательный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать функцию, выбирая свою первую чистую стратегию Q=(1;0),q=1

Т. о.

а21+р(а11-а21)=ра11+(1-р)а21=а11р1+а21р2=v

a22+p(a12-a22)=pa12+(1-p)a22=p1*a12+p2a22=V

p1+p2=1

 

a₁₁ p₁^*+a₂₁ p^*₂ = v.

a₁₂ p₁^*+a₂₂ p^*₂ = v

p₁^*+ p^*₂=1

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

p₁^*=(а22-а21)/(а11+а22-а12-а21)

p₂^*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)

и цену игры v = (а22*а11-а12*а21)/(а11+а22-а12-а21)

средний проигрыш второго игрока равен v, т.е. a₁₁ q₁^*+ a₁₂ q₂^*=v.

Тогда оптимальная стратегия второго игрока определяется по формулам:

q₁^*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)

q₂^*=(а11-а21)/(а11+а22-а12-а21)

17. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока A.

Составим систему уравнений на основе матрицы:

A11 a12

A21 a22

a₁₁ p₁+a₂₁ p₂ = v.

a₁₂ p₁+a₂₂ p₂ = v

p₁+ p₂=1

рассмотрим первое уравнение: a₁₁ p₁+a₂₁ p₂ = v.

a₁₁ p₁+a₂₁ (1-p₁) = v.

а21+p1(а11-а21)=V

если р=0 V=a21

p=1 V=a11

аналогично для второго уравнения

Итак, мы можем сформулировать общий алгоритм геометрического нахождения оптимальных стратегий игрока А, цены игры, нижней и верхней цены игры в чистых стратегиях, седловых точек матрицы и доминирующих стратегий игроков.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый соответ. стратегии А₁ и правый, соотв.стратегии А₂.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы a₁₁ и a₁₂ первой строки матрицы А

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] (как на вертикальной числовой оси) элементы a₂₁ и a₂₂ второй строки матрицы А

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми вторыми индексами, т.е. эл-ты, стоящие в одном и том же столбце матрицы А: a₁₁ с a₂₁ и a₁₂ с a_22. В результате получаем отрезки a₁₁a₂₁ и a₁₂a_22.

6. Находим нижнюю огибающую отрезков a₁₁a₂₁ и a₁₂a₂₂

7. Находим наивысшие точки нижней огибающей

8. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1]

9. Полученные проекции р⁰ определяют оптимальные стратегии Р⁰=(1-р₀,р₀) игрока А.

10. Ордината наивысшей точки огибающей равна цене игры V

11. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

12. Нижний из двух верхних концов отрезков a₁₁a₂₁ и a₁₂a₂₂ есть верхняя цена игры в чистых стратегиях

13. Если элемент является нижним на перпендикуляре, где он лежит, и верхним концом отрезка a₁₁a₂₁ или a₁₂a₂₂, на котором он лежит, то этот эл-т является седловой точкой. В этом случае чистая стратегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.

 

Если матрица игры содержит седловую точку, то автоматически выявляется и оптимальная стратегия игрока В. Но можно достаточно удовлетворительно проинтерпретировать геометрически оптимальную стратегию игрока В и в случае отсутствия седловых точек.

 

18. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока B.

Составим систему уравнений на основе матрицы:

A11 a12

A21 a22

a₁₁ q₁+a₁₂ q₂ = v.

a₂₁ q₁+a₂₂ q₂ = v

q₁+ q₂=1

рассмотрим первое уравнение: a₁₁ q₁+a₁₂ q₂ = v.

a₁₁ q₁+a₁₂ (1-q₁)= v.

а12+q1(а11-а12)=V

если q=0 V=a12

q=1 V=a11

аналогично для второго уравнения

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый соответ. стратегии А₁ и правый, соотв.стратегии А₂.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы a₁₁ и a₂₁ первого столбца матрицы А

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] (как на вертикальной числовой оси) элементы a₁₂ и a₂₂ второго столбца матрицы А

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми первыми индексами, т.е. эл-ты, стоящие в одной и той же строке матрицы А: a₁₁ с a₁₂ и a₂₁ с a_22. В результате получаем отрезки a₁₁a₁₂ и a₂₁a_22.

6. Находим верхнюю огибающую отрезков a₁₁a₁₂ и a₂₁a_22.

7. Находим низшие точки верхней огибающей

8. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1]

9. Полученные проекции q⁰ определяют оптимальные стратегии Q⁰=(1-q₀,q₀)игрока B.

10. Ордината низшей точки огибающей равна цене игры V

11. нижний из двух концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях ß

12. верхний из двух нижних концов отрезков есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

 

19. Геометрический метод нахождения цены игры 2×n и оптимальных стратегий игрока A.

Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый и правый

3. На левом перпендикуляре вертикальной числовой оси от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы матрицы А стоящих в 1 строке

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все эл-ты матрицы А второй строки

5. Каждую пару точек, изображающих элементы a_1j a_2j j=1,…,n, стоящие в j ом столбце матрицы А, соединяем отрезком a_1j a_2j. Таким образом будут построены n отрезков, представляющих собой графики n линейных функций

H(P,B_j)=(a_2j-a_1j)p+a_1j, p принадлежит [0.1] j= 1,…,n

6. Находим нижнюю огибающую семейства отрезков (выпуклая вверх ломанная)

7. На нижней огибающей находим максимальную точку

8. Смешанная стратегия Р⁰=(1-р⁰, р⁰) является оптимальной стратегией игрока А.

9. Ордината наивысшей точки нижней огибающей является ценой игры V

10. Верхний из концов нижней огибающей (лежащей на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

11. Нижний из концов верхней огибающей (лежащий на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях

12. Элемент матрицы А, изображающая точка которого является нижней на перпендикуляре, где она лежит, и верхним концом отрезка, на котором она лежит, будет седловой точкой игры.

20. Геометрический метод нахождения цены игры m ×2 и оптимальных стратегий игрока B.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый и правый

3. На левом перпендикуляре вертикальной числовой оси от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы матрицы А стоящих в 1 столбце

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все эл-ты столбца матрицы А стоящих в 2 столбце

5. Каждую пару точек, изображающих элементы a_i1 a_i2 i=1,…,m, стоящие в i ой строке матрицы А, соединяем отрезком a_i1 a_i2. Таким образом будут построены m отрезков, представляющих собой графики m линейных функций

H(A_i,Q)=(a_i2-a_i1)q+a_i1, q принадлежит [0.1] i = 1,…,m

6. Находим верхнюю огибающую семейства отрезков (выпуклая вниз ломанная)

7. На верхней огибающей находим минимальную точку

8. Смешанная стратегия Q⁰=(1-q⁰, q⁰) является оптимальной стратегией игрока B.

9. Ордината минимальной точки верхней огибающей является ценой игры V

10. Верхний из концов нижней огибающей (лежащей на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

11. Нижний из концов верхней огибающей (лежащий на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях

12. Элемент матрицы А, изображающая точка – нижний конец отрезка на котором она лежит и верхним на перпендикуляре будет седловой точкой игры.

 

21. Доминирование смешанных стратегий для игрока A.

Отыскание решения игр без седловой точки, особенно при достаточно больших размерах платежной матрицы, оказывается сложной задачей. В некоторых случаях эту задачу можно упростить с помощью редуцирования игр, т.е. сведения данной игры со сложной матрицей к игре с более простой матрице. Рассмотрим один из способов редуцирования игр, основанный на принципе доминирования.

Пусть имеем игру с матрицей m*n

рассмотрим две произвольные стратегии А:

P’= (p’_I, p’_2,…, p’_m)

P’’=(p’’_I, p’’_2,…, p’’_m)

Доминирующая стратегия приносит игроку А выигрыш не меньше, чем другая любая.

Стратегия Р’’доминирует стратегию P’ если

∑p’_ia_i1≤∑p’’_ia_i1

∑p’_ia_in≤∑p’’_ia_in

Или ∑p’_ia_ij≤∑p’’_ia_ij j=1,2,…n.

Поиск доминирующих стратегий:

выпуклая линейная комбинация чистых стратегий игрока A:

λ₁А₁+ λ₂А₂+…+ λ_kА_k+…+ λ_mА_m

∑ λ_i=1 λ_i≥0

λ_i аналоги вероятностей р_i система ограничений:

λ_k=0

λ₁а_1j+ λ₂a_2j+…+λ_ma_mj≥a_kj

∑ λ_i=1

Стратегия P=(p1= λ₁; p2= λ₂; p_k=0;…;p_m=λ_m)

признаётся доминирующей стратегию A_k

22. Доминирование смешанных стратегий для игрока В.

Отыскание решения игр без седловой точки, особенно при достаточно больших размерах платежной матрицы, оказывается сложной задачей. В некоторых случаях эту задачу можно упростить с помощью редуцирования игр, т.е. сведения данной игры со сложной матрицей к игре с более простой матрице. Рассмотрим один из способов редуцирования игр, основанный на принципе доминирования.

Пусть имеем игру с матрицей m*n

рассмотрим две произвольные стратегии B:

Q’= (q’_I, q’_2,…, q’_m)

Q’’=(q’’_I, q’’_2,…, q’’_m)

Стратегия Q’’доминирует стратегию Q’ если

∑q’_ja_1j≥∑q’’_ja_1j (средний проигрыш второго игрока в ответ на реализацию игроком А своей 1 стратегии)

∑q’_ja_2j≥∑q’’_ja_2j

Или ∑q’_ja_ij≥∑q’’_ja_ij j=1,2,…n.

Доминирующая стратегия приносит игроку В проигрыш не больше, чем другая любая.

Поиск доминирующих стратегий:

выпуклая линейная комбинация чистых стратегий игрока B:

μ₁B₁+ μ₂B₂+…+ μ_kB_k+…+ λ_nB_n

∑ μ_j=1 μ_j ≥0

μ_j аналоги вероятностей q_j система ограничений:

μ_k=0

μ₁а_i1+ μ₂a_i2+…+ μ_na_in≤a_ik

∑ μ_j =1

Стратегия Q=(q1= μ₁; q2= μ₂; q_k=0;…;q_n= μ_n)

признаётся доминирующей стратегию B_k

 

 

23. Решение матричной игры m × n сведением к задаче линейного программирования для игрока A.

Решение матричной игры m×n с матрицей А, элементы которой удовлетворяют условию a_ij>0 i=1,…,m j=1,…,n, эквивалентно решению пары двойственных друг другу стандартных задач линейного программирования:

Найти min ∑x_i при ограничениях

x_i≥0, i=1,…,m ∑ a_ij x_i≥1 j=1,…,n

Найти max ∑y_j при ограничениях

y_j≥0, j=1,…n ∑ a_ij y_j≤1 i=1,…,m

точнее говоря, если x⁰=(x₁⁰,…,x_m⁰) и y⁰=(y₁⁰,…,y_n⁰) – оптимальные решения задачи, то V=(∑ x_i⁰)^-1=(∑ y_j⁰)^-1 – цена игры с матрицей А, P⁰=Vx⁰=(p⁰₁= Vx⁰₁,…,p_m⁰= Vx⁰_m)- оптимальная стратегия игрока А, Q⁰=Vy⁰=(q⁰₁= Vy⁰₁,…,q_n⁰= Vy⁰_n) - оптимальная стратегия игрока B,

Необходимо определить оптимальные стратегии P⁰=(p₁⁰,p₂⁰,…,p_m⁰) и Q⁰=(q₁⁰,q₂⁰,…,q_n⁰), где ∑ p_i⁰ =1, ∑ q_j⁰ =1

Если игрок A применяет смешанную стратегию P⁰=(p₁,p₂,…,p_m) против любой чистой стратегии Bj игрока B, то он получает средний выигрыш

F(P,Bj)=a1j*p1+a2j*p2+…+amj*pm

В соответствии с теоремой фон Неймана, в любой антагонистической игре существует решение в смешанных стратегиях, т.е. для игрока A существует оптимальная стратегия P⁰и соответствующий ей оптимальный выигрыш .

Для оптимальной стратегии P⁰ все средние выигрыши F(P,Bj) не меньше цены игры , поэтому получаем систему неравенств:

a11*p1+a21*p2+…+am1*pm≥V

a1n*p1+a2n*p2+…+amn*pm≥V

x1=p1/V xm=pm/V при V>0

Если величинаV≤0, неравенства можно преобразовать, поменяв игроков ролями и изменив у всех элементов матрицы знак на противоположный.

a11*x1+a21*x2+…+am1*xm≥1

a1n*x1+a2n*x2+…+amn*xm≥1

x1+x2+..+xm=1/V

Цель игрока A – максимизировать свой гарантированный выигрыш, т.е. максимизировать цену игры V. Максимизация цены игры V эквивалентна минимизации величины1/V. Поэтому задача поиска оптимальной стратегии P⁰для игрока A может быть сформулирована следующим образом:

x1+x2+..+xm→min

a11*x1+a21*x2+…+am1*xm≥1

a1n*x1+a2n*x2+…+amn*xm≥1

x_i≥0

P⁰=(p₁⁰=x₁⁰*V, p₂⁰=x₂⁰*V,…, p_m⁰=x_m⁰*V)

V=1/(x₁⁰+x₂⁰+…+x_m⁰)

Пример:

-2
	-2
		-1

Приведем к матрице с положительными элементами, прибавив к каждому ее элементу число, больше макисмального модуля отрицательных элементов матрицы. В данном случае 3>max {│-2│, │-1│}.

Найти минимум целевой функции f(x₁, x_2, x₃)= x₁₊ x₂₊ x₃

x₁>0, x₂>0, x₃>0

x₁₊6 x₂₊5 x₃≥1

4 x₁₊ x₂₊5 x₃≥1

4 x₁+6 x₂₊2 x₃≥1

 

24. Решение матричной игры m × n сведением к задаче линейного программирования для игрока B.

Решение матричной игры m×n с матрицей А, элементы которой удовлетворяют условию aij>0 i=1,…,m j=1,…,n, эквивалентно решению пары двойственных друг другу стандартных задач линейного программирования:

Найти min ∑x_i при ограничениях

x_i≥0, i=1,…,m ∑ a_ij x_i≥1 j=1,…,n

Найти max ∑y_j при ограничениях

y_j≥0, j=1,…n ∑ a_ij y_j≤1 i=1,…,m

точнее говоря, если x⁰=(x₁⁰,…,x_m⁰) и y⁰=(y₁⁰,…,y_n⁰) – оптимальные решения задачи, то V=(∑ x_i⁰)^-1=(∑ y_j⁰)^-1 – цена игры с матрицей А, P⁰=Vx⁰=(p⁰₁= Vx⁰₁,…,p_m⁰= Vx⁰_m)- оптимальная стратегия игрока А, Q⁰=Vy⁰=(q⁰₁= Vy⁰₁,…,q_n⁰= Vy⁰_n) - оптимальная стратегия игрока B,

Если игрок B применяет смешанную стратегию Q⁰=(q₁,q₂,…,q_n) против любой чистой стратегии Ai игрока A, то он получает средний проигрыш

F(Ai,Q)=ai1*q1+ai2*q2+…+ain*qn

∑q_j=1.

Для оптимальной стратегии Q⁰ все средние проигрыши не больше цены игры , поэтому получаем систему неравенств:

a11*q1+a12*q2+…+a1n*qn≤V

am1*q1+am2*q2+…+amn*qn≤V

y1=q1/V yn=qn/V при V>0

y1+y2+..+yn=1/V

Цель игрока B – минимизировать свой гарантированный проигрыш, т.е. минимизировать цену игры V. Минимизация цены игры эквивалентна максимизации величины 1/V. Поэтому задача поиска оптимальной стратегии Q⁰ для игрока B может быть сформулирована следующим образом:

y1+y2+..+yn→max

a11*y1+a12*y2+…+a1n*yn≤1

am1*y1+am2*y2+…+amn*yn≤1

y_j≥0

Q⁰=(q₁⁰=y₁⁰*V, q₂⁰=y₂⁰*V,…, q_n⁰=y_n⁰*V)

V=1/(y₁⁰+y₂⁰+…+y_n⁰)

Пример:

-2
	-2
		-1

Приведем к матрице с положительными элементами, прибавив к каждому ее элементу число, больше макисмального модуля отрицательных элементов матрицы. В данном случае 3>max {│-2│, │-1│}.

Найти максимум целевой функции φ(y1, y2, y3)= y1+ y2+ y3

y1>0, y2>0, y3>0

y1+4 y2+4 y3≤1

6y1+ y2+6y3≤1

5y1+5y2+2y3≤1

25. Основные понятия и определения теории игр с природой.

В игре с природой действуют 2 игрока, только один из которых действует осознанно – этого игрока называют лицом, принимающего решение (А). природа – второй участник игры не является ни союзником, ни противником игрока А, так как природа как сторона игры не действует осознанно злономеренно против игрока А, а принимает случайным образом одно из своих возможных состояний, не преследуя никаких конкретных целей. при этом игрок А не оказывает никакого влияния на состояние природы. В любой момент времени природа может находиться в одном состоянии. Множество состояний природы Sn={П1,П2,Пn}. Совокупность состояний природы формируется либо на основе имеющегося опыта, либо в результате предположений экспертов.

множество стратегий игрока A: S_A={S1,S2, Sm}

v_ij- результат реализации стратегии активного игрока А при j состоянии природы.

Показателем благоприятности состояния Пj природы П для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при этом состоянии, то есть наибольший элемент в j-ом столбце: ßj=max vij.

Риском r_ij игрока А при выборе им стратегии А_i в условиях состояния П_jприроды П называется разность между показателем благоприятности состояния природы природы П_j и выигрышем v_ij, т.е. разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние П_j, и выигрышем, который он получит при этом же состоянии П_j, выбрав стратегию А­_i: rij = .

Таким образом риск r_ij игрока А при применении им стратегии А_i есть упущенная им возможность максимального выигрыша при этом состоянии природы. Эта упущенная возможность определяется как невыигранная часть величины максимального выигрыша.

Т.е. Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков или матрицы упущенных возможностей.

rij = (ГДЕ верхняя строка – матрица выигрышей, нижняя – матрица потерь).

Принятие решений в условиях неопределенности:

Принятие решений в условиях неопределенности основано на том, что вероятности различных вариантов развития событий неизвестны. Принятие решений в условиях риска основано на том, что каждой ситуации развития событий может быть задана вероятность его осуществления.

Байес:

v_i0*=max{∑v_ijq_j},

v_i0*=min{∑v_ijq_j}

Критерий Лапласа относительно выигрышей (недостаточного основания):

v_i0*=max{1/n∑v_ij}

v_i0*=min{1/n∑v_ij}

Критерий Гермейера

v_i0*=max min{ ∑v_ijq_j}

v_i0*= min max{ ∑v_ijq_j}

Критерий Ходжа – Лемана

v_i0*=max{гамма*∑v_ijq_j+(1-гамма)*minv_ij},

v_i0*=min{гамма*∑v_ijq_j+(1-гамма)*maxv_ij},

в условиях неопределенности:

Гурвица

v_i0*=max{α*max v_ij+(1-α)*min v_ij},

v_i0*=min{α*min v_ij+(1-α)*max v_ij}

Вальда

v_i0*=max minv_ij

v_i0*=min maxv_ij

максимакс

v_i0*=max max v_ij

v_i0*=min minv_ij

Сэвиджа

r_i0*=min max r_ij