Равновесие по Нэшу в конечной игре с совершенной информацией

(Принцип последовательной рационализации)

Теорема. В конечной игре с совершенной информацией существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.

Пример 6. Фирма E (entrant) – новичок – рассматривает вопрос о том, входить ли на рынок, где в текущий момент есть одна единственная укоренившаяся фирма I (incumbent). Если E решается на вход, то I может ответить двумя способами: она может предоставить вход, отдавая часть своих продаж, но, не изменяя цену, либо она может вступить в хищническую войну, которая приведёт к «драматическому» снижению цен. Дерево данной игры представлено на рис. 8.8.

Рис. 8.8.

Стратегии игрока E:

– не входить на рынок;

– входить на рынок.

Стратегии игрока I:

– объявить войну игроку E, если он вошёл в рынок;

– предоставить игроку E вход, отдавая часть своих продаж, но, не изменяя цену.

Соответствующая игре нормальная форма имеет вид:

	I
E		(0, 2)	(0, 2)
	(−3, −1)	(2, 1)

В этой игре две равновесных по Нэшу ситуации (0, 2) и (2, 1) в чистых стратегиях. Но первая из этих ситуаций представляет собой предсказание, не являющееся разумным. Для того, чтобы исключить ситуации типа мы рассмотрим принцип последовательной рационализации: стратегия игры должна предписывать оптимальный ход в каждой вершине дерева. Т.е., если игрок находится в некоторой вершине дерева, его стратегия должна предписывать оптимальный выбор, начиная с этой точки, при данных стратегиях его оппонентов. Согласно данному принципу стратегия не является оптимальной, поскольку равновесной по Нэшу ситуации соответствует стратегия . Если игрок E вошёл на рынок, оптимальным поведением игрока I будет предоставить возможность E действовать на рынке.

Итак, после того как E выбрал стратегию , оптимальной стратегией для игрока I будет . Теперь мы можем определить оптимальное поведение фирмы E до её входа на рынок. Это можно сделать, рассмотрев редуцированную позиционную форму, где после входа на рынок игрока E принятие решения игроком I заменено на соответствующие выигрыши, которые возникают при оптимальном его поведении (рис. 8.9).

Рис. 8.9.

В результате получаем простейшую задачу индивидуального решения, причём очевидным является решение игрока E войти на рынок.

56. Обратная индукция и конечные игры с совершенной информацией (основан на принципе последовательной рационализации) если игрок находится в некоторой вершине то его статегия должна предписывать оптимальный выбор, начиная с этой вершины, при данных стратегиях его оппонента.

Для того, чтобы внимательнее посмотреть на обратную индукцию в конечной игре с совершенной информацией, начнём с определения оптимального «действия» в последних вершинах дерева, где принимается решение (т.е. тех вершин, для которых «последователи» – это только терминальные вершины). Решение, принимаемое игроком в такой вершине, не зависит уже от стратегического взаимодействия и потому является простой задачей принятия решения. Затем мы может обратиться к «предпоследней» вершине и найти оптимальное решение там, предвидя, естественно, ход, который будет сделан в последней вершине. И так далее.

Рассмотрим следующий пример позиционной игры

Принимая оптимальные решения для третьего игрока в последних вершинах дерева, приходим к первой редуцированной игре следующего вида

Принимая оптимальное решение для второго игрока, получаем вторую редуцированную игру (

Игровая ситуация является равновесной по Нэшу. Игрок отклонившись в единоличном порядке от своей оптимальной стратегии может лишь ухудшить своё положение. Найденное решение игры проведено в соответствии с принципом последовательной рациональности.