Производная. Правила и формулы дифференцирования.

Напомним, что приращением функции у = f (х) называется разность , где - приращение аргумента х.

Из рисунка видно, что (1).

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении кнулю называется производной функции у = f (х)в точке х и обозначается одним из следующих символов: у ', f '(х), .

Рис. 1.

Таким образом, по определению

(2)

Если указанный в формуле (2) предел существует, то функцию f (х)называют дифференцируемой в точке х,а операцию нахождения производной у ' –дифференцированием.

Из равенства (1) и определения производной, (см. формулу (2)) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М (х, у), к графику функции у = f (х) (см. рис. 1).

Легко показать, что с физической точки зрения производная у '= f '(х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х.

Если С — постоянное число и и=и(х), v=v (x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (С)'=0;

2) (х)'.=1;

3) (и v)'= и ' v ';

4) (С и)'= С и '

5)(и v) '=и' v+иv';

6) ;

7) ;

8) если у = f (и)и u = (х), т. Е. y = f ( (x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

или ;

9) если для функции у = f (х) существует обратная дифференцируемая функция х=g(у) и , то f '(х) = .

На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:

1)	2) ()' = lnа•u'
3) (е u)'=е u u '	4)
5)	6) (sin u)’= соs uu ’
7) (соs u)’=-sin u u ’	8)
9) ;	10) (arcsin u)'=
11)	12)
13)

Уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке М о(х ₀; f(х ₀))

Уравнениe нормалик кривой у = f (х)в точке М о(х ₀; f (х ₀)):

При f ^/(х ₀)=0 уравнение нормали имеет вид х = х ₀.

Углом между кривыми в точке их пересеченияназывают угол между касательными к кривым в этой точке.

Логарифмической производной функции у = f (х)называется производная от логарифма этой функции, т. Е.

(ln f (x))’= f ’(x)/ f (x).

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении произ­водной функции у=и^v, где и=u(х), v=v(х), предварительное логарифмирование приводит к формуле

у =и^v ln и v' + v и ^{v -1} и'.

Если зависимость между переменными у и х задана в неявном виде уравнением F (х, у)=0, то для нахождения производной у' = в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F (х, у)=0, считая у функцией от х, и из полученного уравнения, линейного относительно у ', найти производную.

Исследование поведения функции и

Построение их графиков.

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Функция у=f (х)называется возрастающей (убывающей)в неко­тором интервале, если большему значению аргумента из этого интер­вала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. Е. при x ₁< x ₂ выполняется неравенство

f (x ₁)< f (x ₂) (f (x ₁)> f (x ₂)).

Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.

1. Если дифференцируемая функция у=f (х) на oтрезке [ а; b ] воз­растает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), т. Е. f' (х) 0(f' (х) 0).

2. Если непрерывная на отрезке [ а; b ] и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.

Функция y=f (х)называется неубывающей (невозрастающей)в некотором интервале, если для любых x ₁< x ₂ из этого интервала

f (x ₁) f (x ₂) (f (x ₁) f (x ₂)).

Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функций, Характер монотон­ности функции может изменяться только в тех точках ее области опре­деления, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.

Точка x₁называется точкой локального максимума функции у=f (x), если для любых достаточно малых | | 0 выполняется нера­венство f (x ₁+ ) < f (x ₁). Точка x ₂называется точкой локального ми­нимума функции у=f (х), если для любых достаточно малых | | 0 справедливо неравенство f (x ₂+ )> f (х ₂). Точки максимума и мини­мума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.

Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума). Еслифункция. У=f (х) имеет в точке х=х₀ экстремум, то либо f' (х₀) =0, либо f' (х₀) не существует.

В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.

Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума). Пусть функция у=f (х) непрерывна в некотором интервале, содержа­щем критическую точку х=х₀ и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х₀). Если f' (х) при х<х₀ положительна, а при х>х₀ отрицательна, то при х=х₀ функ­ция у=f (х) имеет максимум. Если же f ' (х) при х<х₀ отрицательна, а при х>х₀ положительна, то при х=х₀ данная функция имеет минимум.

Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выпол­няться в достаточно малoй окрестности критической точки х=х ₀. Схема исследования функции у=f (х) на экстремум с помощью первой произ­водной может быть записана в виде таблицы.

Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума функции). Пусть функция у=f (х) дважды дифференцируема и f' (х₀) =0. Тогда в точке х=х₀ функция имеет локальный максимум, если f» (х₀) <0, и локальный минимум, если f « (х₀) >0.

В случае, когда f» (х₀) =0, точка х= х₀ может и не быть экстремальной..