Приложения определенного интеграла.

В декартовой системе координат за основную фигуру, площадь которой выражается определенным интегралом, принимается криволинейная трапеция. Если y=f(x) – уравнение линии, ограничивающей трапецию, то площадь трапеции S (в предположении, что y³0) равна S= , где пределы интегрирования a и b(a<b) - абсциссы начала и конца линии.

Если линия задана параметрическими уравнениями x=j(t), y=y(t), то совершая подстановку в интеграле по формуле x=j(t), получим

S= ,

где t₁ и t₂- значения, между которыми изменяется параметр t, когда точка пробегает слева направо всю линию, ограничивающую трапецию сверху.

 

Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, пусть известна площадь любого его сечения, проведенного плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой, например к оси абсцисс:

При этом можно считать, что площадь такого сечения является известной нам функцией S(x), где x – абсцисса точки пересечения указанной плоскости с осью х. Далее предполагается, что все тело заключено между двумя перпендикулярными к оси х плоскостями, пересекающими ее в точках a и b (a<b). Для определения объема такого тела разобьем его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси х и пересекающих ее в точках x₀=a, x₂,…, x_n=b. Каждый слой заменим цилиндром с той же высотой и основанием, равным S(x). Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Объем вычисляют как предел при n®¥ суммы объемов, образующих ступенчатое тело и получаем

V=

Если тело получено вращением криволинейной трапеции, ограниченной линией y=f(x), вокруг оси Ох, то поперечным сечением с абсциссой х служит круг, радиус которого равен соответствующей ординате линии y=f(x)

S(x)=py² Þ V_x= , где y=f(x).

Получена формула объема тела, полученного вращением линии y=f(x) вокруг оси Ох. Аналогично получается формула объема тела, полученного вращением трапеции вокруг оси Оу. Там возможны две формулы:

V_y= или V_y= , где c и d на оси Оу.

Длина дуги AB кривой y=f(x) есть предел длины вписанной в нее ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и при стремлении наибольшей из этих сторон к нулю:

 

Линия AB задана уравнением y=f(x). Длина дуги AB вычисляется по формуле

L= или L= .

Если dx внести под знак корня, то формулу можно переписать в виде

L= .

Если уравнение линии задано параметрически: x=x(t), y=y(t) и t_1,t₂ – значение параметра t, соответствующие концам дуги, причем t₁<t₂, то

L=

Задания на контрольную работу № 3

№№ 1.1-1.30. Найдите интегралы.

1.1 a)	1.11 a)	1.21 a)
b) ;	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;
1.2. a) ;	1.12 a)	1.22a)
b)	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;
1.3.a) ;	1.13 a)	1.23 a)
b)	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;
1.4. a) ;	1.14 a)	1.24 a)
b)	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;
1.5. a) ;	1.15 a) ;	1.25 a)
b) ;	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;
1.6.a) ;	1.16 a) ;	1.26 a)
b) ;	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;
1.7.a) ;	1.17 a) ;	1.27 a) ;
b) ;	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;
1.8. a) ;	1.18 a) ;	1.28 a)
b) ;	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;
1.9. a) ;	1.19 a) ;	1.29 a)
b) ;	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;
1.10. a) ;	1.20 a) ;	1.30a) ;
b) ;	b) ;	b) ;
c) ;	c) ;	c) ;
d) ;	d) ;	d) ;
e) ;	e) ;	e) ;

№№ 2.1-2.30. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница. 2.1. ; 2.2. ; 2.3. ; 2.4. ; 2.5. ; 2.6. ; 2.7. ; 2.8 ; 2.9. ; 2.10. ; 2.11. ; 2.12. ; 2.13. ; 2.14. ; 2.15. ; 2.16. 2.17 ; 2.18. ; 2.19. ; 2.20. ; 2.21. ; 2.22. ; 2.23. ; 2.24. ; 2.25. ; 2.26. ; 2.27. ; 2.28. 2.29. ; 2.30. .   №№ 3.1-3.30. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. . 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. . 3.21. 3.22. 3.23. 3.24. . 3.25. 3.26. 3.27. 3.28. . 3.29. . 3.30   №№ 4.1-4.30. Произвести вычисления. 4.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . 4.2. Вычислите длину дуги кривой . 4.3. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми ,x=1. 4.4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией . 4.5. Вычислите длину дуги арки циклоиды . 4.6. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой и прямой . 4.7. Вычислите длину дуги кривой . 4.8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями . 4.9. Вычислите длину дуги полукубической параболы от точки до точки . 4.10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией . 4.11. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линией . 4.12. Вычислите длину дуги полукубической параболы от точки до точки . 4.13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кардиоидой . 4.14. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и . 4.15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох. 4.16. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и осью Оу . 4.17. Вычислите длину дуги кардиоиды . 4.18. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами . 4.19. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . 4.20. Вычислите длину астроиды . 4.21. Вычислите площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой . 4.22. Вычислите длину дуги кривой , ограниченной прямыми . 4.23. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями . 4.24. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми . 4.25. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией . 4.26. Вычислите длину дуги кривой . 4.27. Вычислите длину дуги данной линии . 4.28. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу линии . 4.29. Вычислите площадь фигуры, ограниченной астроидой . 4.30. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

Пример решения заданий контрольной работы № 3

Задание №1.

a) Вычислить интеграл:

Решение:

Преобразуем подынтегральное выражение

. Следовательно,

Здесь мы воспользовались свойствами неопределенного интеграла и формулами 2 и 1 таблицы интегралов. Сделаем проверку правильности интегрирования. Найдем .

что совпадает с преобразованным подынтегральным выражением.

b) Вычислить интеграл:

Решение:

Проверка: ,

что совпадает с подынтегральным выражением.

c) Вычислить: .

Решение:

Все необходимые вычисления будем проводить одновременно с применением формулы

d) Вычислить интеграл: .

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби:

.

Следовательно х + 15 º (А + В) х ² + (С – 3 В) х + 9 А – 3 С.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях:

Итак:

.e) Вычислите интеграл

Решение:

Задание 2. Вычислить определенный интеграл

Решение.

При вычислении этого интеграла были применены формулы

 

 

Задание 3 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

Решение.

Таким образом, несобственный интеграл равен , т. е. он сходится.

Задание 4 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

 

Решение. Первое уравнение определяет на плоскости прямую линию, второе – гиперболу (рис. 2).

 

рис. 2

 

Найдем их точки пересечения