Предел функции. Основные теоремы о пределах

Число А называется пределом числовой последовательности { х_n }, если для любого >0 существует номер N=N( )>0, такой, что для всех п>N выполняется неравенство | х_п—A |< . Если А –предел последовательности { х_n }, то это записывается следующим образом

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся,в противном случае – расходящейся.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х ₀. Тогда число А называется пределомфункции у = f (х) при х х ₀ (в точке х = х ₀), если для любого >0 существует = ()>0, такое, что при 0 <| х—х ₀|< справедливо неравенство | f (х)- А |< .

Если А – предел функции f (х) при х х ₀, то записывают это так

В самой точке х ₀функция f (х)может и не существовать (f (х ₀) не опре­делено). Аналогично запись обозначает, что для любого >0 существует N = N ()>0, такое, что при | х|>N выполняется неравенство | f (х) -А| < .

Если существует предел вида , который обозначают также или f (х ₀ - 0), то он называется пределом слева функции f (х)в точке x ₀. Аналогично если существует предел вида (в другой записи или f (x ₀+0)), то он называется пределом справафункции f (х)в точке x ₀. Пределы слева и справа называются односто­ронними. Для существования предела функции f(х)в точке x ₀необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x ₀существовали и были равны, то есть f (x ₀-0)=f(x ₀+0).

Справедливы следующие основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют (i =1,…, п). Тогда

Теорема 2. Пусть существуют и Тогда

Эти утверждения сохраняются и при х ₀ = .

Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида - , , и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

 

Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций.

Широко используются следующие два предела

1)

2) ,

которые называются соответственно первым и вторым замечательными пределами.

Если (т. Е. для любого > 0 существует число >0, такое что при 0< < справедливо неравенство < ), то называется бесконечно малойфункцией или величиной при х .

Для сравнения двух бесконечно малых функций и при х находят предел их отношения

(1)

Если С 0, то и называются бесконечно малыми величинами одного и того же порядка;если С =0, то называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с , а - бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с .

Если (0< < ), то называется бесконечно малойпорядка k, по сравнению с при х .

Если , то бесконечно малые и при х называются эквивалентными(равносильными) величинами и обозначают ~ .

Например, при х ~ , ~ х, ~ х, — 1~ ..

Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций и при х равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций и при х , т.е. верны предельные равенства

 

Непрерывность функции. Классификация

Точек разрыва функции.

Функция у = f (х)называется непрерывной при х = x ₀ (в точке x ₀), если:

1) функция f (х) определена в точке x ₀и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции f (х)в точке x ₀;

3) этот предел равен значению функции в точке x ₀, то есть

(2)

Если положить х=x₀ + , то условие непрерывности (2) будет равносильно условию

т. Е. функция у = f (х)непрерывна в точке x ₀тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Точка x ₀, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непре­рывности функции, называется точкой разрывафункции. Если в точке x ₀существуют конечные пределы f (x ₀ - 0) и f (x ₀ +0), такие, что f (x ₀ - 0) f (x ₀+0), то x ₀называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов f (x ₀ - 0) и f (x ₀+0) не существует или равен бесконечности, то точку x ₀называют точкой разрыва второго рода. Если f (x ₀ - 0) =f (x ₀ +0) и функция f (х)не определена в точке x ₀, то точку x ₀называют устранимой точкой разрыва функции.