Дифференциальные уравнения первого порядка. Виды уравнений

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: или . Его общее решение содержит одну произвольную постоянную С: .

Дифференциальные уравнения первого порядка иногда удобно записывать и в виде:

.

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Если функции и разлагаются на множители: , а , тогда уравнение вида:

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Предположив, что , и разделив обе части первого уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными:

,

которое интегрируется:

.

Вычисление полученных интегралов и дает общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

Функция называется однородной функцией измерения () относительно аргументов х и у, если равенство справедливо для любого , при котором функция определена.

Если , то функция будет однородной нулевого измерения .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если и - однородные функцииот х и у одинакового измерения, т.е. Действительно, переписав его в виде: легко заключаем, что - однородная функция нулевого измерения, поскольку:

Так как однородное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно записать в виде то, положив , получим:

Данное уравнение решается с помощью замены и сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно х и новой функции :

. Отсюда следует: . Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование, находят общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение первого порядка:

называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции у и ее производной , где и - непрерывные функции от х.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если , в противном случае оно неоднородное.

Линейное дифференциальное уравнение можно проинтегрировать методом Бернулли, суть которого заключается в следующем. Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций и по формуле (подстановка Бернулли).Тогда Подставив выражения для у и у’ в линейное дифференциальное уравнение, получим:

,

которое преобразуем к виду:

.

Так как , то интегрирование данного вида уравнения сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными:

и

Найдя общее решение изпервого уравнения, а затем и из второго уравнения, придем к общему решению линейного уравнения: .

Дифференциальное уравнение

где , называется уравнением Бернулли.

Путем введения новой функции по формуле , откуда , уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно этой функции:

Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение можно решить с помощью подстановки Бернулли

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Уравнение вида:

,

где - заданные непрерывные функции от х, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, а соответствующее ему уравнение:

- линейным однородным.

Если и - какие-нибудь два линейно независимых частных решения однородного дифференциального уравнения второго порядка, то его общим решением служит функция:

_.

Функции и называются линейно независимыми, если при постоянных и тождество выполняется тогда и только тогда, когда Если же хотя бы одна из них отлична от нуля, а тождество возможно, то эти решения и называются линейно зависимыми.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения:

,

где - частное решение неоднородного, а - общее решение однородного уравнения.

Пусть требуется решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

,

в котором и - постоянные величины.

Найдём частные решения дифференциального уравнения в виде . Тогда , . Подставив выражения , и в исходное уравнение, получим:

.

Так как , то получим уравнение

,

которое называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Таким образом, является частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если - корень характеристического уравнения.

В зависимости от дискриминанта корни характеристического уравнения могут быть:

1) действительными и различными , тогда частные решения и , а общее решение:

,

2) действительными и равными , тогда частные решения и , а общее решение:

,

3) комплексными , , тогда частные решения и _, а общее решение:

_.

 

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:

,

в котором и - постоянные величины, находится как:

,

где - частное решение неоднородного, а - общее решение однородного уравнения.

,

Общее решение однородного уравнения, как известно, находится с помощью характеристического уравнения, а частное решение неоднородного уравнения находится в зависимости от вида функции .

1) если есть многочлен -ой степени:

,

в частности, многочлен второй степени (), то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде:

а) при и ;

б) при и ;

в) при и неоднородное дифференциальное уравнение принимает вид: , решение которого находится непосредственным двукратным интегрированием, т.е. , затем, .

2) Если - показательная функция, т.е. (), то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде:

а) , если коэффициент не является корнем характеристического уравнения, т.е. ;

б) , если коэффициент является однократным корнем характеристического уравнения, т.е. ;

в) , если коэффициент является двукратным корнем характеристического уравнения, т.е. .

3) Если - тригонометрическая функция, т.е. , то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде:

а) , если ;

б) если , а .

Числовые ряды.

 

Пусть дана числовая последовательность .

Выражение вида называется числовым рядом или просто рядом.

При этом числа называются членами ряда, а член с произвольным номером — общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда:

называются частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм .

Если все члены ряда положительны, то ряд называется знакоположительным.

Ряд называется сходящимся, если предел -частичной суммы существует и конечен, т.е. , в противном случае говорят, что ряд расходится. При этом называется суммой ряда.

Ряд: ,

где - знаменатель геометрической прогрессии, называется рядом геометрической прогрессии.

-частичная сумма ряда геометрической прогрессии равна:

= .

Ряд геометрической прогрессии является сходящимся при (его сумма ) ирасходящимся при .

Свойства сходящихся рядов:

4. Если сходится ряд:

то сходится и ряд

и обратно, если сходится второй ряд, то сходится и первый.

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

2) Если ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где с — некоторое число, также сходится, и его сумма равна .

5. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряд cходится и его сумма равна .

Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.