Краткие теоретические сведения для выполнения контрольную работу № 5

"Теория вероятностей и математическая статистика"

Теория вероятностей»

Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений. Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Результат испытания называется событием. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Два события называются несовместными, если появление одного их них исключает появление другого в одном и том же испытании и совместными - в противном случае.

Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают через .

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Событие называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Совокупность событий образует полную группу для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

События А ₁, А ₂, … А _n, образующие полную группу попарно несовместимых равновозможных событий, называются элементарными.

 

Классическое определение вероятности

Вероятностью Р (А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.

 

.

Следствия:

1. Вероятность достоверного события (m = n) равна единице.

2. Вероятность невозможного события (m = 0) равна нулю.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

 

Элементы комбинаторики

 

Для подсчета числа элементарных событий используются формулы из раздела элементарной математики - комбинаторики.

2) Размещением без повторений называется любой упорядоченный набор m различных элементов множества, состоящего из n различных элементов. Число различных размещений из n элементов по m элементов определяется по формуле:

.

2) Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n. Число всех перестановок находится по формуле:

Р_n = n!.

3) Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом (без учета порядка следования элементов). Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по формуле:

.

1) Размещением с повторениями называется любой набор k элементов множества, состоящего из n различных элементов, причем среди k элементов могут быть как различные элементы, так и одинаковые.

Число размещений с повторениями определяется формулой:

.

Алгебра событий

 

Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В, состоящее или в наступлении события А, или события В, или обоих событий одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С = А × В, состоящее в выполнении и события А, и события В.

 

Диаграммы Эйлера

 

Здесь W - пространство элементарных событий (т.е. множество, составленное из всех элементарных событий).