Скорости и ускорения точек ТТ

Определим теперь ускорение точки В

-центростремительное ускорение

Вращение относительно произвольной оси

В общем случае твердое тело может вращаться относительно оси, не совпадающей по направлению ни с одной из осей данной системы координат. Угловая скорость вращения тела вокруг оси снова можно определить соотношением

Если l_x=l_y= 0, то тело вращается вокруг оси Oz и, как мы установили,, где φ – угол поворота тела вокруг этой оси. Аналогично, если ввести углы поворота тела φ_x, φ_y и относительно двух других осей, то

Т.о., вращение тела относительно произвольной оси можно представить как суперпозицию вращений относительно трех осей неподвижной декартовой системы отсчета

Передаточные механизмы

Вал I вращается с угловой скоростью ω ₁. Определить угловую скорость вращения вала II, если радиусы колес (шестерней) механизма равны r ₁, r ₂, r ₃, r ₄. Колесо 1 жестко скреплено с валом I, поэтому

w _I = w ₁ Аналогично w ₄ = w _II Приравнивая скорости в точках A и B контакта колес, получим

Учитывая, что колеса 2 и 3 жестко скреплены, получаем

Движение твердого тела называется плоским (плоскопараллельным), если все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости

Иллюстрация работы кривошипно-шатунного механизма. Передача движения колесу

 

Уравнение плоского движения

Будем описывать движение сечения S

относительно неподвижной системы координат

Oxy, жестко связанной с плоскостью P

Положение сечения относительно этой системы координат определяется положением какого- либо принадлежащего ему отрезка AB

Т.о., плоское движение ТТ слагается из поступательного

движения вместе с полюсом и вращения вокруг полюса

Этим степеням свободы соответствует движение вдоль осей Оу и Ох и вращение относительно

некоторой точки

Введем вспомогательную систему координат с

началом в точке А (полюсе) тела и осями параллельными соответствующим осям неподвижной системы координат

 

Скорость точек тела при плоском движении

Скорость произвольной точки М находится дифференцированием закона движения

где введена скорость движения точки М относительно полюса А

 

Скорость произвольной точки М ТТ, совершающего плоское движение, геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости этой точки в ее вращении вместе с телом вокруг полюса

Теорема о скоростях двух точек

следствие 1

Проекции скоростей двух точек сечения S на прямую, их соединяющую, равны

Для доказательства достаточно спроецировать уравнение скоростей на прямую АМ и учесть, что

 

Следствие 2 Если точки А, В и С сечения S лежат на одной прямой, то концы векторов скоростей этих точек, тоже лежат на одной прямой, причем

Теорема о МЦС

Мгновенным центром скоростей (МЦС) сечения тела (или плоской фигуры) называется точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю

Теорема: Если угловая скорость рассматриваемого сечения S в данный момент времени отлична от нуля, то мгновенный центр скоростей существует и единственен

Действительно, рассмотрим сечение S

Пусть в некоторый момент времени t точки A и B

имеют скорости, не параллельные друг другу

Это следует из теоремы о проекциях скоростей, так

как если бы скорость была отлична от нуля, то

она одновременно должна была бы быть перпендикулярна к АА’ и BB’. Последнее, однако,не возможно в силу непараллельности скоростей точек А и В