Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-21 | 251 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В одномерном случае производная функции характеризует скорость изменения функции в данной точке в направлении оси . В двумерном случае частные производные функции характеризуют то же самое в направлении координатных осей.
Естественно поставить вопрос о скорости изменения функции в направлении произвольной оси .
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и пусть ось задана углами и , которые она составляет с осями координат. Ось удобно задавать её ортом: . Будем считать, что ось проходит через точку и пусть точка – произвольная точка, лежащая на оси. Тогда , т.е. .
Определение 1. Пусть точка неограниченно приближается к точке вдоль оси . Предел вида
(1)
называется производной функции по направлению оси в точке и обозначается одним из символов
, , .
Теорема 1. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные первого порядка и пусть ось образует с осями координат углы и . Тогда производная данной функции по направлению оси в точке существует и выражается формулой
. (2)
Доказательство. Пусть – текущая точка оси . Так как , а и в силу того, что , будем иметь:
То есть, координаты текущей точки есть функции параметра . Тогда:
,
и из (1) имеем:
. (3)
Последний предел есть производная функции в нуле. Производная же сложной функции существует, ибо имеет непрерывные производные, а её аргументы и – дифферен-цируемы, при этом:
.
Рассмотрим последнее равенство при и получим
.
Теперь формула (3) и доказывает теорему.
Замечание. В случае функции трёх переменных и оси , имеющей орт формула (2) приобретает вид
.
Пример. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .
|
Решение. Найдём единичный вектор, имеющий данное направление:
, , ,
откуда , . Далее, вычислим частные производные данной функции в точке : , , откуда , . Теперь по формуле (2) получим
.
II Градиент
Определение 2. Вектор, проекциями которого служат частные производные функции , называется градиентом функции
.
Для функции трёх переменных :
.
Связь градиента с производной по направлению даётся следующей теоремой.
Теорема 2. Производная функции по направлению есть проекция её градиента на это направление:
.
Доказательство. Проекция вектора на ось – это проекция вектора на орт оси. Проекцию же вектора на вектор можно найти, используя скалярное произведение:
.
Учитывая, что и , причём , получим:
.
Правая часть этого равенства в силу Теоремы 1 есть производная по направле-нию. Теорема доказана.
Следствие 1. Производная функции в точке по направлению оси достигает максимума, когда это направление совпадает с градиентом функции, причём
.
Таким образом, градиент функции в данной точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания функции в данной точке.
Следствие 2. Производная функции по направлению, перпендикулярному её градиенту, равна нулю.
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!