История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-21 | 218 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема. Пусть функция двух переменных и ее частные производ-ные и непрерывны в некоторой окрестности точки , причем: а Тогда уравнение определяет (в не-которой окрестности точки ) единственную функцию . Эта функция дифференцируема и
(1)
Докажем формулу (1), принимая без доказательства существование и дифференцируемость неявной функции . То, что уравнение определяет некоторую функцию , означает следующее: (в не-которой окрестности точки ). Продифференцируем это тождество почленно, используя формулу (2) предыдущего параграфа:
Из последнего равенства и вытекает формула (1).
Пример. Рассмотрим функцию и точку Вычислим производные: Нетрудно видеть, что все условия теоремы выполнены: непрерывны в окрестности точки и , Следовательно, в некоторой окрестности точки , уравнение определяет некоторую функцию , обращающую уравнение в тождество. Ее производная:
Замечательно, что по свойствам функции двух переменных , задан-ной непосредственно, мы можем судить о свойствах функции , для которой непосредственного задания мы не имеем.
Замечание 1. Геометрический смысл условия линия определяемая уравнением имеет в точке невертикальную касательную, т.е. саму линию можно понимать как график некоторой функции (в некоторой окрестности точки М 0).
Замечание 2. Теорема легко обобщается на случай неявных функций нескольких переменных.
Лекция 19
Касательная к кривой в пространстве
I Вектор-функция и ее производная
Определение 1. Если каждому значению переменной t из некоторого мно-жества Т поставлен в соответствие некоторый вектор , то говорят, что на множестве Т задана вектор-функция
Определение 2. Вектор называют пределом вектор-функции в точке и пишут , если .
|
Определение 3. Производной вектор-функции в точке называют предел
Если в пространстве задана декартова прямоугольная система координат, то вектор определяется своими проекциями, т.е.
или .
Таким образом, вектор-функция – это упорядоченная тройка обычных функций одной переменной. А так как
,
то определение 2 равносильно следующим трем равенствам
.
Аналогично для производной получаем
.
Будем откладывать векторы , , от начала координат. Тогда их концы составят в пространстве некоторую линию, которую называют годографом вектор-функции . Например, для вектор-функции годограф – это винтовая линия.
II Физический смысл производной вектор-функции
Положение точки М в пространстве можно задавать ее координатами (в не-которой системе координат), а можно задавать и радиус-вектором , где О – начало координат. Если точка М движется, то зависит от времени, т.е. движение точки в пространстве можно задавать вектор-функцией , где t – время из некоторого промежутка. Годограф этой функции – это траектория дви-жения. Производная – это вектор мгновенной скорости:
.
III Уравнения касательной
Линию в пространстве обычно задают системой параметрических урав-нений
Однако, удобно такую линию понимать как годограф вектор-функции
.
Напомним, что, кратко говоря, касательная к линии L в ее точке –это пре-дельной положение секущей , когда точка стремиться к вдоль L. Другими словами, касательная в точке – это та прямая, проходящая через , направляющий вектор которой есть предел направляющего вектора секущей. Пусть и Тогда
,
т.е. , а следовательно и служат направляющими векторами секущей. Поэтому
Отсюда получаем два вывода:
1)вектор мгновенной скорости точки направлен по касательной к траек-тории движения;
2)канонические уравнения касательной к линии L в точке , которая соответствует значению параметра , имеют вид:
|
Пример. Показать, что касательные к линии образуют с осью постоянный угол.
Решение. Для винтовой линии направляющий вектор касательной . Если – угол между касательной и осью , то
.
Напомним, что – орт оси : . Значит,
.
Как видим, , а значит и , не зависят от параметра t, т.е = сonst.
Замечание. Нетрудно заметить, что для плоской линии
уравнение касательной имеет вид
Пример. Составить уравнение касательной к эллипсу
Решение. Пусть – точка касания, соответствующая значению параметра : . Тогда уравнение касательной:
Разделив обе части последнего равенства на а . b, получим известную формулу для касательной к эллипсу в его точке :
.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!