Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-21 | 336 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим уравнение с тремя переменными . В координат-ном пространстве оно определяет некоторую поверхность ().
Определение 1. Точка называется обыкновенной, если в этой точке существуют конечные производные , причем они не обра-щаются в ноль одновременно. В противном случае точка называется особой.
Определение 2. Прямая линия называется касательной прямой к поверх-ности () в ее обыкновенной точке , если она является касательной к некото-рой линии, лежащей на () и проходящей через точку .
Теорема. Все касательные прямые к поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости.
Доказательство. Пусть линия
лежит на данной поверхности (): и проходит через ее точку . Это означает следующее:
1) ;
2) существует значение такое, что .
Продифференцируем тождество из пункта 1): ≡ 0.
Рассмотрим этот результат в точке :
Левая часть последнего равенства – это скалярное произведение направляющего вектора касательной к линии в точке
и вектора
,
проекции которого определяются лишь поверхностью () и ее точкой , и не зависит от линии . Но равенство означает, что , т.е. все каса-тельные прямые к () в ее точке перпендикулярны вектору . Это же, в свою очередь, означает, что все эти прямые лежат в одной плоскости и есть нормаль-ный вектор этой плоскости. Теорема доказана.
Определение 3. Плоскость, в которой лежат все касательные прямые к поверхности в ее обыкновенной точке, называется касательной плоскостью.
Уравнение касательной плоскости к поверхности (): в ее обыкновенной точке имеет вид
В случае явного задания поверхности (): уравнение касательной плоскости таково:
.
Определение 4. Прямая, проходящая через точку поверхности () и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.
|
Уравнения нормали (канонические):
Пример. К поверхности (): провести касательную плоскость , параллельную плоскости : .
Решение. Нормальный вектор касательной плоскости составлен из частных производных функции , вычисленных в точке касания:
Так как , то и, следовательно , т.е
Таким образом, точка касания такова: Но значит ее координаты удовлетворяют уравнению ():
.
Отсюда и Имеем две точки касания (и две касательные плоскос-ти):
и .
Уравнения касательных плоскостей
и .
После упрощения получим:
и .
Приведем ряд задач для самостоятельного решения.
1) Дана поверхность (): Доказать, что любая каса-тельная плоскость к () образует с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.
2) Дана поверхность (): . Доказать, что любая касса-тельная плоскость к () отсекает от координатных осей отрезки, сумма длин которых постоянна.
3) Дана поверхность (): где – дифференцируемая функция. Доказать, что все касательные плоскости к () пересекаются в одной точке.
Лекция 20
Производные высших порядков
Если функция имеет частные производные в каждой точке некоторой области , то они представляют собой функции двух переменных, определенные в . Может случиться, что эти функции имеют в
частные производные. Тогда эти производные называются частными производ-ными второго порядка
, , , .
Используются и другие обозначения, например:
, .
Производные и называются смешанными производными второго поряд-ка. При некоторых условиях смешанные производные не зависят от порядка диф-ференцирования.
Теорема. Пусть функция имеет в области частные производные . Пусть, кроме того, смешанные производные и непре-рывны в . Тогда имеет место равенство
= .
Аналогично производным второго порядка вводятся частные производные третьего, четвертого, …, -го порядка. Для смешанных производных высших по-рядков остается справедливой сформулированная выше теорема.
|
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!