Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-09 | 387 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассматривая делимость в кольце многочленов от n переменных будем считать взятыми из поля
О1) Многочлен f ∈ делится на не нулевой многочлен g ∈ если существует такой многочлен s∈ , что f=gs, f⋮g
О2) Многочлен f ∈ называется не приводимым над P если ст f ≥1
f=gs, ст g=0 или ст s=0 и делятся на f.
О3) Многочлен f ∈ называется приводимым или составным над полем P если ст f≥1 и существуют
Отметим свойства не приводимых многочленов
1) Если f ∈ не приводим над P то и всякий ассоциированный с ним многочлен также не приводим над P.
2) Если f g не приводимые над полем P и f⋮g то f и g ассоциированные.
3) Всякий многочлен f из кольца степени 1 не приводим над P.
Указанные свойства аналогичны рассмотренных для многочленов от 1 переменной. Основной результат теории делимости заключается в возможности и единственности разложения многочленов на неприводимые множители, остается в силе и в кольце .
Т1: любой многочлен f ∈ ст f≥1 представим произведением не приводимых множителей и это представление единственно с точностью до нулевого члена.
Доказательство:
Доказательство будем вести методом математической индукции.
1) Если ст f=1 то f не приводим и разложение представимо всевали одним множителем с точность до постоянного множителя.
2) Пусть теорема верна для любого многочлена f такова что ст f≥1<m
3) Докажем истинность утверждения для любого многочлена ст f =m:
Если f не приводим над P то разложение будет представлено одним множителем, если f приводимый то существуют g,s ∈ такие, что f=gs, ст g≥1, ст s≥1 и учтем что, ст g<ст f, ст s<ст f è по предположению пункта 2 теоремы, для многочленов g и s, теорема верна. Таким образом мы f=gs - представление f в виде произведения не приводимых множителей.
|
Единственность такого разложения доказывается методом от противного.
Cсимметрические многочлены
Будим рассматривать многочлены над произвольной областью целостности.
О1 называется симметрическим если он не меняется при любой перестановке входящих в него переменных где –перестановка
Пример 1:
– симметрический
- не симметрический
Структура симметрических многочленов такова, что если сам симметрический многочлен содержит элемент , то он также должен содержать многочлен вида у которых выполнена замена иксов, а индексы образуют перестановку из номеров переменных x. Обозначим сумм различных одночленов, которые получаются из одночлена , . В частности каждый симметрический многочлен является суммой однородных многочленов
Особую роль среди симметрических многочленов играют элементарные симметрические многочлены.
По определению k-ый элементарный симметрический многочлен есть сумм всевозможных произведений по k различных переменных
Другую важную серию симметрических многочленов составляют степенные суммы:
Можно показать что, сумма разность и произведение симметрических многочленов также являются симметрическими
Пример 2:
–симметрические их произведение надо показать что он тоже симметрический
è - симметрический.
K из него можем выделить симметрические. Сами симметрический многочлен тоже образуют кольцо.
Рассмотрим ряд утверждений относительно симметрически многочленов.
Л1: Если лексико старший член симметрического многочлена то для последовательности степеней выполняется .
Доказательство:
Пусть u лексикографически старший член. Предположим . По условию f симметрический тогда по определению симметрического многочлена он в месте с одночленом U содержит одночлен . Исходя из предположения но по условию U старший то есть наше предположение привело к противоречию условию леммы следовательно наше предположение не верно.
|
Л2: Для любого одночлена где , a≠0 суш шествует многочлен лексикографически старшй член которого совподает c U.
Доказательство:
Лексикографически старший член многочлена является произведением старших членов элементарных симметричных многочленов с учетом их степеней:
Найденный лексикографически старший член должен быть равен одночлену U если
(2)
Решение системы (2) получаем в результате вычитания из i-го уравнения i+1 уравнение:
(3)
Такое решение единственно и учитывая что, , - целые не отрицательные числа а, следовательно могут быть показателями степеней. И так симметрический многочлен:
и лексикографически старший член ее совпадает с U(он единственен, что идет из единственности решения системы 2).
Доказанные леммы 1,2 позволяют рассмотреть основную теорему о симметрических многочленов.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!