Кризис математики в начале XX века

§ 1. Арифметизация математики

Одна из причин, побудивших заняться теорией алгорит­мов, нам уже известна. Это — «подозрительность» матема­тиков в связи с накоплением упорно не поддающихся решению задач на нахождение алгоритмов. О второй при­чине читатель узнает в данной главе.

Еще древнегреческий математик Пифагор (580—500 гг. до н. э.) ввел ныне общеизвестный дедуктивный метод, сущность которого заключается в том, что из небольшого числа исходных утверждений, называемых аксиомами и принятых без доказательства, все остальные утверждения математики выводятся с помощью правил логики. Первым дошедшим до нас письменным документом, содержащим изложение одной из ветвей математики (геометрии) с помощью дедуктивного метода, является знаменитый труд Евклида (III в. до н. э.) «Начала». С тех пор постепенно математика по своей структуре стала противоположна всем другим естественнонаучным дисциплинам, имеющим эмпирический характер.

До середины XIX столетия никто не сомневался в ис­тинности математических результатов, залогом чего счи­тали истинность аксиом и правильность рассуждений, построенных по законам логики. Исследования Н. И. Лоба­чевского, Л. Бойаи и Б. Римана показали, что аксиомы нельзя считать истинами, не требующими доказательства. Собственно, и до этого одну из аксиом Евклида (пятую, утверждающую, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллель­ную данной) многие математики считали не столь очевид­ной, как другие аксиомы[10]. Было предпринято немало по­пыток доказать эту аксиому как теорему, опираясь на другие, но безуспешно. Такую же попытку предпринял и Н. И. Лобачевский. Его идея состояла в том, чтобы за­менить пятую аксиому противоположным ей утвержде­нием[11] и прийти в результате этого к противоречию (дока­зательство от противного). Вместо противоречия была получена новая геометрия, известная теперь под названием геометрии Лобачевского.

Упомянутые исследования геометрии интересны сами по себе, но особенно они важны тем, что сокрушили веру в истинность аксиом и заставили задуматься над тем, что же является фундаментом математики. После того как Р. Декарт открыл метод координат, стали думать, что таким фундаментом может служить арифметика. Метод координат позволил геометрические объекты представить с помощью чисел. Например, точку плоскости можно рас­сматривать как пару чисел (являющихся ее координатами при некотором выборе системы координат). Прямую можно определить, указав какие-нибудь не совпадающие между собой две точки, лежащие на этой прямой (две пары чисел), и т. п. При таком подходе все геометрические утверждения могут быть пересказаны в виде утверждений о некоторых системах чисел.

При этом оказалось, что нет надобности отдельно рас­сматривать натуральные числа, целые отрицательные числа, дроби, действительные числа, комплексные числа. Можно свести все вопросы к рассмотрению только натуральных чисел и некоторых отношений между ними. Например, дробь можно рассматривать как совокупность числителя и знаменателя, т. е. как пару натуральных чисел, опреде­ленным образом связанных. Так, дробь 2/3 будет обозна­чаться (2,3), где скобки указывают на наличие упомяну­того отношения. Относительные числа можно тоже рас­сматривать как лары натуральных чисел таких, что раз­ность между первым и вторым элементами пары равна изображаемому этой парой числу. Например, числа 0, 5 и —5 можно представить в виде пар ((2,2)), ((7,2)) и ((3,8)) и т. д. Мы не будем подробнее останавливаться на при­емах, позволяющих любые числа изображать в виде систем натуральных чисел. Заметим только, что эти приемы позволяют и геометрию пересказать в терминах натураль­ных чисел. Такое сведение различных теорий чисел и геометрии к теории натуральных чисел (т. е. арифметике) называется их арифметизацией. Была также доказана возможность полной арифметизации математического ана­лиза и теории функций. Известный французский мате­матик Ж. Пуанкаре на Втором международном матема­тическом конгрессе даже заявил: «Теперь в математике остаются только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел. Математика полностью арифметизирована ».

Возможность арифметизации вовсе не означает отказ от всех других понятий математики, а лишь убеждает нас в том, что фундаментом математики может служить ариф­метика.

Теория множеств

В результате арифметизации многие математические по­нятия выражаются через различные системы натуральных чисел, которые могут быть и бесконечными. Например, произвольное действительное число нельзя представить в виде конечной системы натуральных чисел. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть общеизвестное я (отношение длины окружности к ее диаметру). При очень грубых расчетах берут вместо я десятичное число 3,14. Но при более точных расчетах нужно брать более близкое к нему десятичное число, скажем, 3,141592653, которое, од­нако, тоже не равно самому л. Короче говоря, п можно рас­сматривать только как бесконечное множество натураль­ных чисел, например, как последовательность натураль­ных чисел, соответствующих его цифрам, сохраняющимся при переходе к все более и более точным приближениям.

Разработанная немецким математиком Г. Кантором в 1874—1897 гг. теория множеств оказалась той научной дисциплиной, которая давала единые методы для изуче­ния конечных и бесконечных систем предметов.

Основным объектом этой теории является множество. Говорят, что понятие множества относится к числу про­стейших и может быть только разъяснено, но не опреде­лено. Можно говорить о множестве людей, находящихся в некотором помещении, о множестве звезд в галактике, называемой Млечным Путем, о множестве букв, составля­ющих данную строку, о множестве натуральных чисел и т. п. Предметы, входящие в состав множеств, называются их элементами. Теория множеств изучает те свойства мно­жеств, которые не зависят от свойств их элементов.

На первый взгляд, понятие множества кажется очень естественным и действительно простым. В своей практике люди испокон веков имели дело с различными множествами конкретных, а иногда и абстрактных предметов. Напри­мер, пастухи имели дело со стадами, строители — с ку­чами песка, охотник — с лесами, математики — с беско­нечным рядом натуральных чисел. Но понятие множества в теории множеств столь обще и абстрактно, что из него выводимы все понятия математики.

Здесь автор позволит себе совсем немного пофилософ­ствовать. В результате многовекового естественного отбо­ра нервная система человека и высших животных сложи­лась так, что окружающий мир воспринимается ею как состоящий из отделенных друг от друга предметов. Это свойство нервной системы целесообразно и экономно. Бла­годаря ему животные, располагающие сравнительно про­стой нервной системой, находят пищу и спасаются от на­падений других животных. Это свойство было унаследо­вано и человеком, от его животных предков. Понадобились века и тысячелетия для того, чтобы люди узнали, что в действительности мир более сложен, чем воспринимаемая ими совокупность предметов. В то же время разделение мира на предметы в какой-то мере отражает его объек­тивные закономерности. Наш язык настолько приспособ­лен к выражению различных суждений именно о предме­тах, что автор испытывает определенные затруднения, стараясь объяснить существо понятия «предмет», не поль­зуясь для этого тем же понятием.

Восприятие мира как системы предметов связано с оп­ределенным актом абстрагирования, совершаемым нашей нервной системой бессознательно. Это абстрагирование имеет две стороны: 1) слабые влияния частей предмета на другие предметы (и их определенные части) либо не об­наруживаются (остаются незамеченными, как бы не пере­ступают порога чувствительности нашего организма), либо не учитываются; 2) более сильные влияния частей пред­мета принимаются за влияние всего предмета в целом; при этом они либо суммируются, либо осредняются.

Сказанное можно пояснить вульгарным примером. Встречая определенного человека, я его воспринимаю как некоторый «предмет», влияние которого на меня заклю­чается в том, что он мне что-то говорит и как-то действует, например, пожимает мне руку, если мы друзья, или на­носит мне удар, если мы боксеры на ринге. Но мои чувства не воспринимают многих «частей» этого конкретного «пред­мета», например, наличия в его организме гриппозного ви­руса и влияния этого «предмета» на меня, заключающегося в том, что его органы дыхания выделяют этот вирус, и в результате контакта с этим «предметом» я заражаюсь гриппом.

Абстракцию, в результате которой некоторая часть мира признается нами за отдельный предмет, будем назы­вать абстракцией предмета.

Познавая внутреннее строение предметов и их взаимодействие между собой и другими частями мира, мы каж­дый раз снова и снова совершаем эту же абстракцию, по отношению к более «мелким» частям мира.

Понятие множества связано с новой абстракцией. Объ­единяя предметы в множество и создавая тем самым новый предмет, мы игнорируем все свойства множества, завися­щие от свойств входящих в него предметов, кроме свойств отличаться от всех других множеств, если в нем есть хотя бы один элемент, не содержащийся в другом множестве, или если в нем нет хотя бы одного элемента, присутствую­щего в другом множестве. Далее, мы не учитываем никаких связей между элементами и влияний их друг на друга, сохраняя за ними только свойство быть самостоятельными, различными между собой. Зато считается, что каждый элемент связан с содержащим его множеством отношением включения или, если угодно, связью включения, чего в действительности может и не быть. Это отношение в мате­матике обозначают символом . Запись а А означает, что а является элементом множества А, входит в это мно­жество.

Наряду с игнорированием влияния свойств элементов на свойства множества, теория множеств разрешает при­писывать каким угодно предметам свойство быть элемен­тами некоторого множества. Например, наша точка зрения на звезды как на предметы не дает нам никаких указаний на наличие каких-либо связей между звездами первой величины, которые позволили бы их объединить в один предмет. Тем не менее рассмотрение множества звезд первой величины вполне допустимо. Точно так же не вызывает возражений множество находящихся на земле людей, у которых на правой руке почему-либо нет ука­зательного пальца, или множество собак, у которых от­рублены хвосты, и т. п.

При объединении каких-либо элементов в множество требуется, чтобы эти элементы отличались друг от друга, но вовсе не считается необходимым, чтобы они существо­вали одновременно. Никакого возражения не вызывает, например, множество трех объектов пространства-времени, первым из которых является автор данных строк, суще­ствовавший вчера, вторым — он же сегодня, а третьим — он завтра. Сами множества тоже могут быть элементами новых множеств.

Как видит читатель, абстракция множества совер­шенно отлична от абстракции предмета. На этом наше фи­лософское отступление кончается.

Идея множества была, конечно, известна и до Г. Кан­тора. Г. Кантор нашел способ сравнивать между собой множества. Избранный им способ сравнения двух мно­жеств заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между их элементами. Этот способ пред­ставляет собой как бы объединение элементов одного множества в пары с элементами другого множества, причем так, что каждый элемент входит в одну-единственную пару.

Если для множеств А и В удается осуществить вза­имно однозначное соответствие, то по определению эти множества равномощны. Для конечных множеств их рав-номощность означает, что они имеют одинаковые количе­ства элементов.

Равномощность множеств нельзя смешивать с их ра­венством. Множества называются равными, если каждый элемент одного из них является также элементом и другого. Например, если за обеденным столом собрались все члены вашей семьи и нет никого постороннего, то можно ут­верждать, что множество людей, собравшихся за столом, и множество людей, являющихся членами вашей семьи, равны. Конечно, они и равномощны. Но некоторые равно-мощные множества никак нельзя признать равными. К их числу, например, относятся какое-либо множество из пяти людей и какое-либо множество из пяти собак.

Ради удобства вводится понятие пустого множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Все пустые множества считаются равными. Кроме того, вво­дится в рассмотрение одноэлементное множество, состоя­щее из единственного элемента. В результате абстракции множества одноэлементное множество оказывается не тем же самым предметом, каким является его элемент.

Интересно заметить, что еще в 1638 г. Г. Галилей обна­ружил, что можно установить взаимно однозначное соот­ветствие между натуральными числами и их квадратами, если выписывать одну под другой две строки (одновре­менно), включая в первую натуральные числа и тут же под ними во второй записывая квадраты этих чисел. Получается

0 1 2 3 4 5 6 7 8...

0 1 4 9 16 25 36 49 64...

Г. Галилей расценил это как парадокс, демонстриру­ющий нам, что квадратов «столько же», сколько и нату­ральных чисел, в то время как квадратов «гораздо меньше», чем всех натуральных чисел. Г. Кантор усмотрел в примере Г. Галилея равномощность множества натуральных чисел и множества их квадратов.

Из того факта, что все квадраты являются натураль­ными числами, но не все натуральные числа являются квадратами, следует, что множество квадратов является правильной частью [12] множества натуральных чисел. Если N означает множество натуральных чисел, a Q — множе­ство их квадратов, то можно записать Q N, что значит: q - правильная часть множества N. Заметим, что ни один элемент множества не считается его частью, так что знаки и имеют совершенно разный смысл.

Из примера Г. Галилея Г. Кантор сделал вывод, что некоторые множества могут быть равномощны своим пра­вильным частям. Ни одно конечное множество не обладает таким свойством. Оно присуще только бесконечным множе­ствам.

Натуральный ряд в теории множеств принят за эталон некоторого класса бесконечных множеств. Любое множе­ство, равномощное натуральному ряду, называется счетным.

Итак, мы знаем уже конечные множества и счетные множества. Есть ли еще какие-нибудь? Оказывается, есть. Рассмотрим множество всех действительных чисел, каждое из которых больше нуля, но меньше единицы. С помощью специального приема, изобретенного Г. Кан­тором, можно доказать, что множество действительных чисел несчетно. Предположим противное, т. е. что мы сумели установить взаимно однозначное соответствие между действительными числами и натуральными числами. Го­ворят, что нам удалось действительные числа перенумеро­вать. Запишем эти числа в столбец в порядке номеров. Как известно, каждое действительное число из нашего множества имеет конечное либо бесконечное множество знаков после запятой. Можно считать, что количество знаков после запятой в записи каждого действительного числа бесконечно, так как в противном случае мы могли бы справа приписать сколько угодно нулей.

Предположим, что у нас получится следующий столбец действительных чисел:

0,5010203…

0,1020705…

0,0216973…

0,2329793…

0,2332750…

Составим еще одно число (назовем его b), у которого целая часть равна нулю, а i -я (i =1, 2,...) цифра после запятой либо на единицу больше i-й цифры после запятой i-ro действительного числа, либо, если это невозможно (потому что при сложении получается 10), равна нулю.

Другими словами, каждая цифра числа b получается из цифры, стоящей на диагонали нашей «таблицы цифр», увеличением на 1 (с отниманием 10, если получится дву­значный результат). В нашем конкретном случае мы по­лучим бесконечную строку цифр 0,61208...

Такая строка является записью действительного числа. Это число не равно ни одному из перенумерованных нами действительных чисел, так как его первая цифра после запятой не равна первой цифре после запятой первого числа, его вторая цифра не равна второй цифре второго числа и т. д. От каждого действительного числа это число заведомо отличается хотя бы одной цифрой.

Мы вели рассуждения исходя из условия, что все дей­ствительные числа нашего множества перенумерованы и в порядке номеров расположены в столбец. Но в резуль­тате этих рассуждений мы получили действительное чис­ло Ь, принадлежащее нашему множеству и не равное ни одному из перенумерованных (т. е. не имеющее номера). Мы пришли к противоречию. Остается сделать только один вывод: неверно, что наше множество действительных чисел счетно, оно несчетно.

Множества, равно мощные множеству действительных положительных чисел, не превосходящих единицы, назы­вают множествами мощности континуума, или конти­нуальными.

Кардинальные числа

Теория множеств позволяет сделать очень интересное обобщение понятия числа. Условимся мощностью конеч­ного множества называть наибольшее натуральное число, которое будет использовано при нумерации его элементов, т. е. при установлении взаимно однозначного соответствия с последовательными числами 1, 2, 3,..., принадлежащими натуральному ряду. При этом мощности равномощных конечных множеств оказываются равными, что подтверж­дает естественность нового термина.

Множеству всех натуральных чисел поставим в соот­ветствие некоторую мощность, которую будем обозначать символом N. Ее же будем считать мощностью каждого множества, равномощного множеству натуральных чисел (т. е. каждому счетному множеству). Будем, наконец, считать, что множеству положительных действительных чисел, не превосходящих единицы, соответствует некото­рая мощность К, которая является мощностью также каждого континуального множества.

Если каждое множество, являющееся правильной ча­стью множества М, а также само множество М называть подмножествами множества М, можно доказать теорему:

Если М — конечное множество мощности п, то множе­ство всех его подмножеств (считаемых элементами этого нового множества) имеет мощность 2ⁿ (имеются в виду только попарно неравные между собой подмножества).

Мы не будем приводить доказательства этой теоремы, подтвердим ее только примером. Пусть множество М со­стоит из элементов а₁, а₂, а₃ и, следовательно, имеет мощ­ность 3. Его подмножествами будут три одноэлементных множества { a ₁}, { a ₂}, { а₃ }, три двухэлементных множества { а ₁, а ₂}, { а ₁, а ₃}, { a ₂, а₃ }, одно трехэлементное множество { а₁, а ₂, а ₃} и одно пустое множество { }. Их ровно восемь, а это значит, что мощность множества, для которого они являются элементами, равна 2³.

Обратим внимание на способ обозначения множеств, которым мы пользовались. Мы перечисляли элементы множества и заключали их в фигурные скобки. Множество подмножеств множества М можно было обозначить так:

{{ }, { а₁ }, { a ₂, { a ₃}, { a ₁. a ₂}, { a ₁, а₃ }, { а ₂, а ₃}, { a ₁, а ₂, а ₃}}. По аналогии с мощностями конечных множеств усло­вимся мощность множества всех (не равных между со­бой) подмножеств бесконечного множества обозначать сим­волом 2^т, если мощность исходного множества т. До­казано, что K=2^N. При этом 2^К будет равно .

Мы не знаем, все ли возможные мощности могут быть обозначены с помощью введенных обозначений, но это пока для нас и неважно. Будем только считать, что для каждого множества (а значит, и для всех равномощных ему множеств) существует некоторая мощность.

Остается «установить порядок» между мощностями. Делается это так. Полагают, что мощности равиомощных множеств равны. Это условие уже выполнено. Далее, считают, что мощность множества M₁ (обозначим ее m₁) меньше мощности множества М₂ (обозначим ее m₂), если M₁ равномощно некоторому подмножеству множества М₂, причем М ₂не равномощно ни одному подмножеству множества M₁. Это записывают так:

m₁<m₂.

Наконец считают, что m_t больше т_г и пишут т₁>т_г, если сформулированное выше условие при взаимной за­мене M₁на M₂ окажется верным. Итак, теперь каждое множество характеризуется своей мощностью, и любые две мощности находятся в одном из трех перечисленных отношений.

Новая характеристика множества — его мощность — чем-то напоминает число, а для конечных множеств сов­падает с числом. Это позволило ввести термин кардиналь­ное число.

Кардинальным числом (элементов) множества М на­зывается его мощность т. Все натуральные числа содер­жатся среди кардинальных, но существуют кардинальные числа, не являющиеся натуральными. Г. Кантор доказал следующие две теоремы.

Теорема 1. Для любого кардинального числа т справедливо неравенство m<2^m.

Теорема 2. Мощность т' подмножества множе­ства, имеющего мощность т, удовлетворяет неравенству т' ≤ т.

Теперь мы достаточно углубились в теорию множеств для того, чтобы суметь описать те «подземные толчки», которые потрясли математику в конце XIX — начале XX в.

Антиномии

В то время, когда А. Пуанкаре провозгласил, что математика обрела, наконец, надежный фундамент, сама арифметика пошатнулась из-за того, что в теории множеств были обнаружены противоречия (парадоксы), вошедшие в историю математики под названием антиномий.

Парадокс Кантора (обнаружен в 1899 г.). Пусть М — множество всех множеств. Обозначим его кар­динальное число буквой т. В силу теоремы 1 кардиналь­ное число множества его подмножеств 2^т удовлетворяет условию 2^m>m.

С другой стороны, множество М есть множество всех множеств. Его подмножества являются множествами и, значит, являются элементами М, а их множество, следо­вательно, является подмножеством множества М. Тогда в силу теоремы 2 должно иметь место неравенство 2^т ≤ т.

Полученные два неравенства противоречат друг другу. В этом и проявляется парадокс (антиномия) Кантора.

Для создания парадоксальной ситуации мы привлекли к рассмотрению очень своеобразное множество всех мно­жеств. Для него характерно то, что оно является своим собственным элементом, т. е. обладает свойством М М. Возникает законное сомнение — а возможно ли это? Мо­жет быть, таких множеств не бывает? Оказывается, бы­вают и даже среди не очень сложных. Множество коров не может быть своим собственным элементом, потому что оно не корова. Но рассмотрим следующие два примера.

1. Известно, что акционерами могут быть любые юри­дические лица, юридическими же лицами являются от­дельные граждане и акционерные общества. Если некое акционерное общество X скупило часть собственных ак­ций, то X является как множеством акционеров, так и собственным акционером, т. е. удовлетворяет условию Х£Х. Ничего противоречивого или невозможного в этом нет.

2. Для построения еще одного примера представим себе, что у нас есть библиотека, и в ней мы решили создать разделы (т. е. выделить множества книг). Для этого бу­дем для каждого раздела составлять каталог и оформлять его в виде книги. Каждый каталог определяет некоторое множество книг. Очевидно, каталог может содержать в себе данные о самом себе. Такой каталог будем называть самоназывающимся, а каждый каталог, который не содер­жит сведений о самом себе, несамоназывающимся. Любой самоназывающийся каталог, с одной стороны, является книгой, а с другой — определяет множество книг (при абстрактном подходе говорят — является множеством книг), в которое сам входит.

Существование множеств, содержащих самих себя в качестве элементов, еще не парадоксально. Но вместе с некоторыми другими условиями оно может приводить к возникновению парадокса.

Кардинальное число является некоторой количествен­ной характеристикой множества. Введем и мы такую ха­рактеристику для книг и каталогов.

Каждая книга в нашей библиотеке имеет цену, про­ставленную на ее переплете. Будем эту цену считать ко­личественной характеристикой книги. Установим правило, согласно которому оценка каталога производится так: оп­ределяется максимальная цена книги из числа указанных в каталоге и прибавляется к этой величине 1 рубль. Это и будет цена каталога. Если обозначить цены указанных в каталоге книг через y₁, y₂, …, y_i, …, y_n,а цену каталога через х, то можно написать формулу для оценки каталога:

.

Теперь нам легко создать парадоксальную ситуацию.

Парадокс оценки каталогов. Директор библиотеки, узнав о большом числе каталогов в его биб­лиотеке, принял решение создать раздел всех каталогов. Новый каталог был довольно быстро составлен, а вот с определением его цены произошла заминка. Для опре­деления этой цены каталогизатор поступил так: если

то при любом i имеем x≥1+y_i. Но одна из книг, указанных в каталоге, есть сам этот каталог; значит, его цена может быть подставлена в последнюю формулу, что даст нера­венство х^1+х.

Найти такую цену х, которая удовлетворяла бы по­следнему условию, каталогизатор никак не мог. Тогда директор сказал: «Очевидно, каталог всех каталогов такая дорогая вещь, что оценить его невозможно. Давайте лик­видируем в библиотеке раздел каталогов, а каждый ка­талог включим в тот раздел, который в нем описан». К удив­лению директора, после этого сразу все каталоги пере­стали поддаваться оценке.

Как директор разрешил парадокс оценки каталогов? Очень просто. Не математическими, а административными средствами. Он предложил вместо правила

применить правило

(i₀ — номер каталога в нем самом).

Каталогизатор стал возражать, мотивируя тем, что за составление каталога ему положена плата, равная цене, проставляемой на каталоге. Предлагаемое директором из­менение способа оценки каталогов уменьшит его зарабо­ток на столько рублей, сколько он составит каталогов. Но директор не смутился. Он издал приказ, по которому для каталогов была установлена новая оценка

но за каждый составленный каталог составителю пола­гается премия в сумме 1 рубль, после чего цена каталога должна быть увеличена на 1 рубль.

Мы привели здесь новое правило оценки каталогов для того, чтобы показать, что парадокс возникает только При определенных способах приписывания множествам число­вых характеристик.

Парадокс Рассела (открыт в 1902 г.). Если парадокс Кантора возникает для множества, которое со­держит себя в качестве своего элемента, то парадокс Рас­села связан с множествами, не содержащими себя в каче­стве своих элементов. Для удобства будем множество, не содержащее себя в качестве элемента, называть обычным, а множество, содержащее себя в качестве элемента,— не­обычным.

Парадоксальным является множество всех обычных и только обычных множеств. Чтобы в этом убедиться, проверим, является ли оно само обычным или необычным. Сперва предположим, что оно обычное. Но тогда, будучи множеством всех обычных множеств, оно содержит и себя. Стало быть, оно необычное. Предположив, что оно обыч­ное, мы получили противоречие.

Но, может быть, оно необычное, и дело с концом? Про­верим. Если оно необычное, то, будучи множеством только обычных, оно себя в качестве элемента не содержит, а значит, является обычным. Опять противоречие.

Интересно, что парадокс Рассела может возникнуть и для каталогов, которыми мы уже пользовались для по­строения парадокса Кантора.

Парадоксальным оказывается каталог всех несамоназывающихся и только несамоназывающихся каталогов. Он не может быть самоназывающимся (содержать сведе­ния о самом себе), так как является каталогом только не­самоназывающихся каталогов. Точно так же он не может быть и несамоназывающимся, так как при этом не содер­жал бы сведений о себе (несамоназывающемся), но дол­жен был бы содержать.

Парадокс брадобрея. Парадокс Рассела мож­но сформулировать без привлечения понятия множества. Представим себе, что один из солдат оказался по профес­сии парикмахером. Узнав об этом, командир полка при­казал ему брить всех тех и только тех, кто сам себя не бреет. Все было хорошо, пока не пришло время побрить самого себя. Оказалось, что побрить себя нельзя, так как приказано брить только тех, кто себя не бреет; не брить себя тоже нельзя, потому что приказано брить всех, кто себя не бреет.

Не кажется ли читателю, что положение брадобрея по­добно положению юноши, решившего купить костюм, цена которого меньше 50 рублей (потому что это дешевый ко­стюм) и больше 150 рублей (потому что это хороший ко­стюм)? Разница лишь в том, что условия для покупки костюма всегда противоречивы (не зависят от объекта по­купки), а условия, при которых следует брить, не всегда: их противоречивость или непротиворечивость зависит от объекта бритья.

Выводы из антиномий

Открытие антиномий потрясло математику и математи­ков как землетрясение. Их наличие, и при этом в такой области, как теория множеств (и логика, потому что па­радокс брадобрея имеет логический характер), заставило опасаться того, что многие результаты, полученные в ма­тематике, тоже противоречивы. Можно было ожидать, что в дальнейшем будут появляться еще новые парадоксы. Все в математике стало казаться неустойчивым, потому что самый ее фундамент дал трещину.

Нужно сказать, что математики реагировали на земле­трясение по-разному. Одни стали во всем сомневаться. Из­вестный математик Ю. Дедекинд после опубликования анти­номии Рассела на некоторое время прекратил публика­цию своих работ. Математик Г. Фреге кончал в это время издание своего большого труда, подготовке которого он по­святил десять лет жизни. В первой же фразе послесловия он говорит, что фундамент построенного им здания поко­леблен парадоксом Рассела. А. Пуанкаре, о котором мы уже говорили, изменил свое отношение к теории множеств. Были, конечно, и такие математики, которые на открытие антиномий никак не реагировали и бездумно продолжали применять теорию множеств, правда, в той ее части, в которой не обнаружено антиномий. Этих математиков обычно называют последователями классицизма. Но мно­гие математики стали искать пути устранения проти­воречий.

Некоторые полагали, что противоречия возникают бла­годаря дефектам самой логики и стали пересматривать именно ее.

Другие предполагали, что парадоксы возникают из-за некорректности понятия множества, и занялись поиском такого определения множества, которое было бы свободно от внутренних противоречий.

Третьи — получившие название формалистов — при­шли к выводу, что математика должна быть аксиоматизи­рована, а затем все теоремы совершенно формально дока­заны. При этом возник вопрос о формальном языке для математики, таком, чтобы с аксиомами, изложенными на нем, можно было поступать как с определенными комби­нациями символов. Доказательство теорем при этом при­нимало вид переработки исходных аксиом с помощью правил вывода в новые комбинации символов — теоремы. Эти математики разработали новую дисциплину — тео­рию математического вывода, называемую метаматема­тикой.

Четвертые усмотрели причину кризиса математики в том, что ряд математических объектов и методов являются неконструктивными. Разъясним последнюю точку зрения.

В теории множеств допускаются «готовые» бесконечные множества, уже существующие, уже завершенные. Завер­шенное бесконечное множество называют актуально бес­конечным. Расходуя ограниченное количество ресурсов на каждом шаге, имеющем фиксированную длительность, построить такое множество ни реально, ни потенциально нельзя. Проверить, обладают ли все элементы такого множества каким-либо свойством, тоже нельзя, так как никакая ограниченная скорость проверки не дает воз­можности охватить их все. Другое дело, потенциально бесконечное, или потенциально осуществимое множество. Такое множество в каждый момент конечно, но есть прием, позволяющий добавить к нему всегда еще несколько (а потом еще несколько, и еще несколько, и так далее и, зна­чит, сколько угодно) элементов. Анализ элементов такого множества можно провести исследованием правила, которое позволяет получать все новые и новые элементы этого «кон­структивного» множества.

Актуально бесконечное множество, будучи недоступ­но ни построению, ни проверке, обязывает нас слепо до­верять тем правилам логики, с помощью которых мы опре­делили свойства его элементов. Указанные правила логики не основываются ни на каких фактах, доступных проверке, во всяком случае в смысле их правильности для акту­ально бесконечных множеств. Значит, говорят математики, придерживающиеся этой четвертой точки зрения, всей части теории множеств, имеющей деле с актуальной бес­конечностью, доверять нельзя.

Будучи едины в своем отношении к актуальной беско­нечности и в своем требовании конструктивности, сторон­ники четвертой точки зрения неодинаково решают вопрос о том, что допустимо в качестве исходного материала для конструкций. Таким образом, эта точка зрения делится на две группы.

Математики первой группы считают, что главным основанием для выбора какого-либо математического объ­екта в качестве исходного для дальнейших построений является его интуитивная очевидность. Читатель, веро­ятно, согласится, что выбор, опирающийся на интуицию, не может не быть субъективным. То, что интуитивно ясно одному, совершенно неясно другому. Это течение в мате­матике получило название интуиционизма.

Математики второй группы считают, что исходным мате­риалом для построений могут быть лишь наиболее про­стые математические объекты, применение которых оправ­дано всей практикой человечества, причем количество их типов должно быть ограничено. В качестве основного сред­ства получения новых математических объектов должны служить алгоритмы. Это направление получило название конструктивного.

Нужно признать, что ученые всех перечисленных на­правлений внесли большой вклад в сокровищницу матема­тики, получили большое число очень интересных, глу­боких и важных научных результатов. Нужно также подчеркнуть, что наше описание различных точек зрения, возникающих в результате обнаружения антиномий, яв­ляется упрощенным и неточным. Но более подробно осветить этот вопрос автор не имеет возможности.

Из всех указанных направлений мы выделим послед­нее — конструктивное, поскольку оно для обоснования математики приняло на вооружение алгоритмы, и его сто­ронники стали разрабатывать теорию алгоритмов.

Итак, мы ознакомились со второй причиной для раз­работки теории алгоритмов: необходимостью обоснования математики.

На этом автор хотел закончить главу, но вдруг понял, что любознательный читатель, узнав о том, что произошло в математическом мире в начале XX в., несомненно за­хочет узнать — а как же дело обстоит сейчас? Рассыпа­лась ли математика, как карточный домик, или она устоя­ла, преодолела свой кризис?

Конечно, появление антиномий потрясло математику. Верно и то, что кризис математики еще и до сих пор полностью не преодолен. Три четверти столетия — слишком малый для этого срок.

Но в общем-то оснований для отчаяни