История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-11-27 | 433 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Определение. Если на прямой задано направление, то она называется осью. Углом между двумя векторами (или между вектором и осью, или между двумя осями) называется наименьший угол φ, на который нужно повернуть один вектор (ось), чтобы он совпал по направлению с другим вектором (осью) (рис. 2.4).
Очевидно, что 0 ≤ φ ≤ π. Угол между векторами и обозначается ( ^ ).
Определение. Проекцией вектора на ось L называется длина отрезка А 1 В 1, заключенного между ортогональными проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком плюс, если направление от А 1 к В 1 совпадает с направлением оси L, и со знаком минус, если не совпадает.
Из определения и рис. 2.5 следует, что проекция вектора на ось L равна
. (2.3)
Направленный отрезок называется ортогональной составляющей вектора по оси L. Если – единичный вектор, соответствующий направлению оси L, то с учетом формулы (2.3)
. (2.4)
Проекции векторов и на данную ось L обладают следующими свойствами:
;
.
Декартова система координат
Векторы будем рассматривать в реальном физическом пространстве, известном из элементарной математики как прямоугольная декартова система координат в R 3, образованная тремя взаимно перпендикулярными осями X, Y, Z, называемых осями координат, и точки О – начало координат. Единичные векторы , направленные вдоль осей X, Y, Z соответственно, образуют прямоугольный базис. Так как вектор свободный вектор, то совместим его начало с началом координат.
Известно, что каждый вектор пространства можно единственным образом разложить по векторам (рис. 2.6):
. (2.5)
Числа x, y, z называются координатами вектора в базисе . Этот факт будем записывать в виде , что равносильно разложению (2.5).
Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора выясняет следующее утверждение.
Теорема. 2.2. Декартовы прямоугольные координаты х, у, z вектора в базисе являются его проекциями на соответствующие оси координат. (Доказательство теоремы предлагается выполнить самостоятельно).
Согласно теореме 2.1, при выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергаются и координаты этих векторов, то есть если , то
Если , , то есть у равных векторов соответствующие координаты векторов равны.
Пример:
Даны три вектора , образующие базис. Найти координаты вектора в этом базисе.
Решение: из условия единственности разложения вектора в данном базисе следует, что , где α, β и γ некоторые неизвестные числа, одновременно неравные нулю.
Для определения α, β и γ, используя теорему (2.1) и условия равенства соответствующих координат у равных векторов, получим систему линейных уравнений:
Решив полученную систему линейных уравнений, получим координаты вектора в базисе векторов : α = – 1, β = 4, γ = 3.
Ответ: .
Направляющие косинусы вектора
Из теоремы 2.2. и рис. 2.6 следует, что
(2.6)
По теореме Пифагора (см. рис. 2.6) имеем
. (2.7)
Три числа cosα, cosβ и cosγ называются направляющими косинусами вектора . Из формул (2.6) и (2.7) имеем
, (2.8)
откуда
.
Для единичного вектора , , учитывая равенства (2.8) получим:
Пример:
Найти координаты орт вектора .
Решение: находим длину вектора : ; .
Тогда
Условие коллинеарности двух векторов
Пусть коллинеарные векторы. Поскольку || , то для любого и (λ ≠ 0)
,
отсюда
. (2.9)
Итак, коллинеарность векторов и равносильна пропорциональности соответствующих координат этих векторов (2.9).
Радиус-вектор и координаты точки
Радиус – вектором точки М назовём вектор , начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 2.6). Очевидно, что всякая точка М ÎR3 однозначно определяется своим радиус – вектором .
Координатами х, у, z точки М (рис. 2.6) называются проекции её радиус-вектора на координатные оси, то есть координатами точки являются коэффициенты разложения её радиус-вектора по базису :
.
При этом координата х называется абсциссой, у – ординатой, z – аппликатой точки М и обозначается М (х; у; z).
Рассмотрим две точки А(х 1; у 1; z 1) и В(х 2; у 2; z 2), радиус-векторы которых соответственно равны и (рис.2.7).
Так как , то .
Отсюда, в частности, получаем формулу для вычисления расстояния между двумя точками А и В:
(2.10)
Из формулы (2.10) следует, что длина радиус – вектора точки М вычисляется по формуле:
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!