Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными

Исследовать систему линейных уравнений значит установить: имеет ли данная система решение (система совместна) или решения нет (система несовместна). Если система совместна, необходимо найти все возможные решения.

Пусть дана система линейных уравнений

(1.8)

Матрица называется матрицей этой системы, а матрица – расширенной матрицей системы. Набор чисел – решение СЛУ (1.8)

Следующие две теоремы позволяют установить наличие решений системы (1.8).

Теорема Кронекера – Капелли: для того, чтобы система линейных уравнений (1.8) была совместна необходимо и достаточно, чтобы

rang A = rang A ‌ B.

Теорема: если: 1) rang A = rang A ‌ B = n, где n – число неизвестных, то система имеет единственное решение; 2) rang A = rang A ‌ B = r < n, то система имеет бесчисленное множество решений; 3) rang A ≠ rang A ‌ B, то система не имеет решений (несовместна).

При единственно возможном решении систему называют определённой. При множестве решений – неопределённой. В случае неограниченного числа решений следует выразить связь между неизвестными через свободные параметры. Количество свободных параметров равно n – r.

Рассмотрим все возможные случаи, возникающие при использовании метода Гаусса. Расширенную матрицу приводят к виду, когда в нижней строке находится минимальное количество элементов, отличных от нуля. Если таких элементов два (по одному до и после разделительной прямой, как это было в матрице 1.7), то система совместна и определена. Если слева от черты стоят все нули, а справа нет нуля, то система линейных уравнений не имеет решения, то есть несовместна.

Наличие слева от черты двух элементов, отличных от нуля означает, что система имеет бесчисленное число решений, то есть система является совместной, но неопределённой. В качестве свободного параметра выбирается х _n, относительно которого определяются все другие неизвестные.

Возможен случай получения нулей во всей нижней строке матрицы, тогда анализ системы проводится по предпоследней строке, которая после удаления нулевой строки становится последней.

Таким образом, по виду последней строки можно заключить:

1. (0... 0 0 0 | n) – система несовместна;

2. (0... 0 0 а | n) – система совместна и определена;

3. (0... 0 b а | n) – система совместна, но неопределенна.

Пример:

Исследовать систему уравнений

Решение: проведём эквивалентные преобразования расширенной матрицы: вычтем из второй строки первую; а из третьей – удвоенную первую строку. После чего к последней строке добавим вторую:

~ ~ ~ .

Вывод: система линейных уравнений несовместна, так как rang A = 2, а rang A ‌ B = 3.

Однородные СЛУ

Системы линейных уравнений, у которых все свободные члены равны нулю (b ₁ = b ₂= …= b _m = 0) образуют класс однородных систем.

Эти системы всегда совместны, так как имеют нулевое (тривиальное) решение x ₁ = x ₂= …= x _n = 0. Наличие других решений можно установить переводом однородной системы уравнений в неоднородную систему с помощью соответствующей замены переменной.

Пример:

Найти все решения системы

Решение: по методу Гаусса получим:

~ ~ ~

~ .

Полученной матрице соответствует однородная СЛУ:

Положив , где , получим множество решений данной системы.

Ответ: х ₁ = 1,89 t; х ₂ = –1,57 t; х ₃ = –1,01 t; х ₄ = t.

Задания для самостоятельной работы

1. Исследовать данные системы линейных уравнений на совместность. В случае совместности системы найти все ее решения.

1.1. 1. 2. 1. 3.

1.4. 1. 5.

1.6. 1.7.

2. Найти все решения данных однородных систем линейных уравнений.

2.1. 2.2. 2.3.

Ответы

1.1. х ₁ = 1; х ₂ = –2; х ₃ = –1. 1.2. х ₁ = 1; х ₂ = –2; x ₃ = 1. 1.3. х ₁ = 1; х ₂ = –2; x ₃ = 1. 1.4. х ₁ = 2 – t, х ₂ = – 3 + t, x ₃ = t. 1.5. х ₁ = 6 – t; х ₂ = – 2 + t; x ₃ = t. 1.6. х ₁ = 5 + 10 t; х ₂ = 10 + 16 t; x ₃ = t. 1.7. х ₁ = 1; х ₂ = 1; x ₃ = 1. 2.1. х ₁ = 0; х ₂ = 0; x₃ = 0. 2.2. х ₁ = – t, х ₂ = t, x ₃ = t. 2.3. х ₁ = – 3 t, х ₂ = – 5 t, x ₃ = t.

Вопросы для самоподготовки

1. Что называется определителем?

2. Свойства определителей.

3. Что называется минором и алгебраическим дополнение?

4. Теорема Лапласа.

5. Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядка.

6. Правило Крамера для решения СЛУ.

7. Что называется матрицей? Размер матриц. Виды матриц.

8. Какие операции над матрицами называются линейными?

9. Правила выполнения линейных операций над матрицами.

10. Умножение матриц.

11. Свойства произведения матриц.

12. Обратная матрица.

13. Для каких матриц существует обратная матрица?

14. Правило нахождения обратной матрицы.

15. Матричная форма СЛУ. Решение СЛУ в матричной форме.

16. Исследование СЛУ.

17. Теорема Кронекера-Капелли.

18. Метод Гаусса.

19. Однородные СЛУ и их решение.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

2.1. Определение вектора

Физические величины делятся на скалярные, которые при выбранной системе единиц характеризуются одним числом, и векторные, которые характеризуются не только числом, но и направлением.

Скалярными величинами являются масса, температура, объём тела, время, концентрация вещества и тому подобные величины. К векторным величинам относятся, например, скорость, ускорение, сила, напряженность электрического или магнитного полей и т.д.

Геометрическое определение вектора – направленный отрезок.

Обозначаются векторы одной буквой или – двумя , где А – начальная точка, а В – конечная.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ и обозначается или .

Определение. Вектором называется упорядоченный набор чисел, называемых его координатами. Записывается вектор в виде матрицы-строки

или матрицы-столбца .

Мы будем рассматривать свободные векторы, то есть такие, которые можно перемещать параллельно самим себе.

Два вектора и считаются равными, если они одинаково направлены и длины отрезков АВ и СD равны. Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль–вектором и обозначается (или просто 0).

Вектор , длина которого рана единице, называется единичным или ортом. Свободный вектор однозначно определяется своей длиной и направлением.

Параллельные векторы и векторы, лежащие на одной прямой называются коллинеарными и обозначаются .

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.