Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-11-27 | 287 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Расстояние от точки М 0(x 0; y 0; z 0) до плоскости, заданной общим уравнением (1.22) находится по формуле
.
Уравнение плоскости в отрезках
Если общее уравнение плоскости (3.22) разделить на , то получим уравнение плоскости в отрезках
(3.23)
В уравнении (3.23) и – координаты точек пересечения плоскости (3.22) с осями координат О х, О y и О z, соответственно (рис.3.11).
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Пусть даны три точки M 1(x 1; y 1; z 1), M 2(x 2; y 2; z 2) и M 3(x 3; y 3; z 3). Тогда векторное уравнение плоскости, проходящей через три точки, будет иметь вид:
,
где радиус–векторы точек плоскости, точка М (x; y; z) – произвольная точка плоскости. из условия компланарности трех векторов (свойство смешанного произведения) следует уравнение плоскости. В координатной форме это уравнение примет вид
(3.24)
Пример:
Составить уравнение плоскости Q, проходящей через точку М0(–2;3;2), параллельно двум векторам и
Решение: пусть М (x; y; z) – текущая точка плоскости. Векторы и компланарны относительно плоскости Q. Из условия компланарности трех векторов (3.24) получим векторное уравнение плоскости Q. В координатной форме уравнение плоскости Q будет иметь вид
или 2 х + 7 у + 3 z – 23 = 0.
Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М 1(–2;–4;2), М 2(3;–1;0), М 3(1;5;–2).
Решение: пусть М (x; y; z) – текущая точка плоскости. тогда, применяя формулу (3.24), получим
или 2 х + 7 у + 18 z – 2 = 0.
Взаимное расположение плоскостей
Пусть даны две плоскости А 1 х + В 1 у + С 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 z + D 2 =0. Тогда угол φ между этими плоскостями определяется по формуле
из которой следует условие параллельности плоскостей
и их перпендикулярности
.
Пример:
найти угол между плоскостями
|
3 х – 5 у + 8 z – 2 = 0 и 5 х + 4 у – 3 z + 7 = 0.
Решение:
.
Прямая линия в пространстве
1. Поскольку прямую можно трактовать, как линию пересечения двух плоскостей, то её можно задать системой уравнений двух плоскостей
2. Как и на плоскости, прямую линию в пространстве можно задать координатами двух точек M 1(x 1; y 1; z 1) и M 2(x 2; y 2; z 2). Уравнения прямой находим из условия коллинеарности двух векторов и в виде
, (3.25)
где M (x; y; z) – текущая точка на прямой линии.
3. В уравнениях (3.25) введем обозначения . Тогда вектор можно рассматривать как проекции вектора, параллельного прямой М 1 М 2. Из условия коллинеарности двух векторов и получим канонические уравнения прямой
. (3.26)
Вектор называется направляющим вектором прямой.
Полученная прямая линия (3.26) проходит через точку M 1(x 1; y 1; z 1) и образует с осями координат углы α, β и γ, косинусы которых определяются по формулам
.
4. Канонические уравнения преобразуется в параметрические уравнения прямой .
Пример:
Привести к каноническому виду уравнения прямой линии
Решение: определим координаты какой-либо точки на прямой линии. Для этого положим в обоих уравнениях z = 0:
Отсюда определим х = 2 и у = – 1. Таким образом, получим точку М 0(2; –1;0). Направляющий вектор , где и . Таким образом,
.
По формуле (3.26) найдем канонические уравнения:
, или .
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!