Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-11-27 | 453 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Понятие линейного оператора
Пусть V и W – два линейных пространства. Отображение А: V → W называется линейным оператором, если
, где , α, β ∈ R.
Вектор называется образом вектора V.
Оператор, который каждому вектору V ставит в соответствие нулевой вектор , называется нулевым оператором и обозначается О. Таким образом, , V.
Линейный оператор А, для которого , V, называется тождественным и обозначается Е.
Оператор А, удовлетворяющий соотношению , где α ∈ R, называется скалярнымоператором или оператором подобия.
Областью значений линейного оператора А: V → W называется множество векторов вида , V, и обозначается im A (англ. image − образ).
Ядром линейного оператора А называется множество ker А всех V, для которых (англ. kernel − ядро).
Матрица линейного оператора
Пусть V – линейное пространство с базисом , а А – линейный оператор, действующий из в линейное пространство W, базисом которого служат векторы . (Для простоты изложения будем рассматривать линейные пространства V размерности n =2 и W – m = 3.) Тогда любой вектор V можно представить в виде . В силу линейности оператора А получим
(2.19)
Векторы W однозначно разлагаются по базису векторов пространства W:
(2.20)
где (а 11; а 21; а 31) и (а 12; а 22; а 32) – координаты векторов и соответственно в базисе . Так как вектор тоже принадлежит пространству W, то аналогично
, (2.21)
где у 1 и у 2 – координаты вектора в пространстве W. Из формул (2.19), (2.20) и (2.21) получим
,
откуда, приравняв координаты при соответствующих векторах , получим систему равенств вида
(2.22)
Равенства (2.22) позволяют вычислить координаты у 1, у 2, у 3 вектора
при линейном отображении
А: V → W
через координаты х 1, х 2 вектора V, линейный оператор А имеет вид
|
. (2.23)
Из равенств (2.22) и (2.23) следует, что при заданных базисах в пространстве V и в пространстве W линейный оператор А: V → W полностью определяется матрицей
, (2.24)
которая называется матрицей линейного оператора А выбранных базисах.
Между множествами матриц и линейных операторов устанавливается взаимно-однозначное соответствие, поэтому линейные операторы и соответствующие им матрицы обозначают одними и теми же буквами, то есть если А – линейный оператор, то А – его матрица.
Таким образом, равенство в координатной форме имеет вид
. (2.25)
Примеры линейных операторов
Если А: R2 → R2 или А: R3 → R3 – линейные операторы. действующие в пространстве R2 или R3, то их матрицы имеют вид
или
соответственно. Эти операторы переводят векторы из R2 в векторы из R2 или векторы из R3 в векторы того же пространства R3. Рассмотрим некоторые таких линейных операторов.
Пусть А – оператор подобия, отображающий вектор в некоторый параллельный ему вектор . Линейность этого оператора очевидна.
Если – базис пространства R3, то
и, значит, матрица этого оператора
.
При α = 1 получим матрицу Е тождественного оператора, при α = –1 – матрицу – Е оператора, противоположного тождественному, при α = 0 – матрицу нулевого оператора.
Пусть А – оператор поворота векторов плоскости R2 вокруг начала координат на угол φ против часовой стрелки. Это преобразование линейно.
Найдем матрицу оператора поворота. Из рис. 2. 12 видно, что
так что матрица поворота в базисе имеет вид
. (2.26)
Матрица А, определённая равенством (2.26), называется матрицей перехода от старого базиса к новому (рис. 2.12).
Используя матрицу (2.26), получим формулы преобразования координат вектора при повороте на угол φ. Пусть х 1, х 2 – координаты вектора , тогда координаты у 1, у 2 вектора при повороте вектора на угол φ определяются из соотношений
Пример:
Пусть А: R3 → R2 – линейный оператор, для которого , где
|
Найти матрицу перехода оператора А.
Решение: согласно условию и равенству (2.24), матрица А имеет две строки и три столбца:
По определению,
так что
Матрицу А получить проще, если воспользоваться тем, что её строки составлены из коэффициентов разложения координат вектора по координатам вектора , то есть из условия задачи следует, что
у 1 = 1∙ х 1 – 1∙ х 2 + 0 ∙ х 3, откуда а 11 = 1, а 12 = – 1, а 13 = 0;
у 1 = 0 ∙ х 1 + 1∙ х 2 + 2 ∙ х 3, откуда а 21 = 0, а 22 = 1, а 23 = 2.
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!