Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-11-27 | 267 |
5.00
из
|
Заказать работу |
1. Любая линейная комбинация собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному числу, является также собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Если собственные векторы отвечают попарно различным собственным числам λ1, λ2, …, λk, то система векторов линейно независима.
3. Собственные числа линейного оператора А: V → W не изменяются при изменении базиса.
Пример:
Найти собственные значения и собственные векторы для матрицы
Решение: составим характеристическое уравнение
.
Вычисляя этот определитель, получим (λ + 1)2(λ – 3) = 0, λ1 = –1, λ2 = 3.
Система для определения собственного вектора, соответствующего собственному значению λ2 = 3 имеет вид:
Третье уравнение равно разности второго и первого, поэтому его можно вычеркнуть из системы. Получим систему
В качестве свободной неизвестной величины можно выбрать х3 и выразить через неё неизвестные х 1 и х 2. Получим
Полагая х 3 = 2, найдем собственный вектор
Аналогично найдём собственный вектор, соответствующий собственному числу λ1 = –1,
Заметим, что собственному числу λ1 = –1 кратности 2 соответствует лишь один с точностью до постоянного множителя собственный вектор, так как в рассматриваемом примере rang(A – λT) = 2 при λ = –1. Таким образом, матрица А имеет лишь два линейно независимых собственных вектора.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти длину и направляющие косинусы вектора:
1.1. . 1.2. .
2. Найти орт вектора:
2.1. . 2.2. . 2.3. .
3. Образуют ли трапецию точки А (3;–1;2), В(1;2; –1), С(–1;1; –3), D (3; –5;3)?
4. Точки А, В, С, D – вершины параллелограмма. Точка О – точка пересечения его диагоналей (его центр). Найти разложение векторов по векторам .
5. Вычислить скалярное произведение векторов:
5.1. и . 5.2. и . 5.3. и .
6. Найти пр и пр :
6.1. , . 6.2. , . 6.3. , .
7. Вычислить векторное произведение векторов:
7.1. и . 7.2. , . 7.3. , .
8. Найти синус угла между векторами:
8.1. и . 8.2. и . 8.3. и .
9. Указать левой или правой тройкой являются векторы :
9.1. , , . 9.2. , , . 9.3. , , .
10. Компланарны ли векторы:
10.1. , , . 10.2. , , .
11. Найти объём тетраэдра построенного на векторах :
11.1. , , . 11.2. , , .
12. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей
13. Показать, что собственные векторы матрицы ортогональны.
Ответы
1.1. 1,66; 0,12; 0,24; 0,96. 1.2. 70; 2/7;3/7;-6/7. 2.1. . 2.2. . 2.3. 0,27 i +0,53 j +0,80 k. 3. Да. 4. ; ; ; . 5.1. –5. 5.2. 10. 5.3. 0. 6.1. пр , пр . 6.2. пр , пр . 6.3. пр , пр . 7.1. 6 i – 3j. 7.2. 20 i – 20 j – 10 k. 7.3. (3;4;-2). 8.1. 1. 13.2. (167/185)1/2. 8.3. (5/56)1/2. 9.1. Левая. 9.2. Правая. 9.3. Левая. 10.1. Нет. 10.2. Да. 11.1. 24 куб.ед. 11.2. 2 куб.ед. 12. λ1 = 1, λ2 = 2, λ3= 3. , 13. λ1 = 9, λ2= 6, λ3 = 3.
Вопросы для самоподготовки
1. Векторы.
2. Линейные операции над векторами и их свойства.
3. Линейные пространства. Типы линейных пространств.
4. Чему равна проекция вектора на ось?
5. Координаты вектора в декартовой прямоугольной системе координат. Длина вектора.
6. Коллинеарные векторы. Условие коллинеарности векторов.
7. Скалярное произведение векторов, его свойства.
8. Угол между векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.
9. Скалярное произведение векторов в координатной форме.
10. Геометрический и физический смысл скалярного произведения.
11. Евклидово пространство. Норма вектора.
12. Векторное произведение двух векторов.
13. Векторное произведение векторов в координатной форме.
14. Геометрический, физический и механический смысл векторного произведения.
15. Смешанное произведение трех векторов.
16. Смешанное произведение в координатной форме.
17. Геометрический смысл смешанного произведения.
18. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского
19. Определение Линейного оператора.
20. Действия над линейными операторами.
21. Обратный оператор.
22. Собственные векторы и собственные числа.
23. Свойства собственных векторов.
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!