Множественный ковариационный анализ

 

Метод канонических корреляций относится к статистическим методам анализа связей между массовыми случайными явлениями. В экономико- статистических исследованиях часто возникает необходимость на основа- нии эмпирических данных выявить зависимость основных результативных показателей от большого числа факторов, определяющих значения этих по- казателей.

Если рассматривается зависимость между одним показателем Y и одним или несколькими факторами, то речь идет соответственно о парной или

множественной корреляции.

Метод канонических корреляций позволяет находить максимальные кор-

реляционные связи между группами случайных величин. Эта зависимость определяется при помощи новых аргументов – канонических величин, вычис- ленных как линейные комбинации исходных показателей. Алгоритм расчетов метода канонических корреляций строится таким образом, чтобы в каждой группе переменных эти линейные комбинации были независимыми, в то же время обеспечивается высокая степень связи между линейными комбина- циями результативных показателей.

В каноническом анализе матрица значений исходных переменных разби-

та на две части:

 

№ опыта	X 1	X 2	…	X q	Y 1	Y 2	…	Yp
	x 11	x 12`	…	x 1 q	y 11	y 12	…	y 1 p
	x 21	x 22	…	x 2 q	y 21	y 22	…	y 2 p
M	M	M	O	M	M	M	O	M
n	xn 1	xn 2	…	xnq	yn 1	yn 2	…	ynp

где

X 1,

X 2, …,

Xq – факторные, а Y 1, Y 2, …, Yp

– результативные показатели.

 

Так как обычно количество факторов значительно превышает количест-

во результативных показателей, то будем предполагать, что

q ≥ p.

Определение 16.1. Коэффициентом канонической корреляции меж-

ду переменными

X 1,

X 2, …,

Xq и переменными

Y 1, Y 2, …, Yp

называется ко-

эффициент корреляции между новыми каноническими переменными U и V:

U = a 1 X 1 + a 2 X 2 +...+ aq X q,

V = b 1 Y 1 + b 2 Y 2 +...+ bpYp.

 

В зависимости от того, какие значения принимают коэффициенты ai и

bj (i =1, q; j =1, p), будут меняться значения канонических переменных и

коэффициент канонической корреляции ρ.

Основной задачей, решаемой в каноническом анализе, является отыскание

такой пары значений канонических переменных U и V, которой соответству-

Y

ет максимальное значение коэффициента канонической корреляции ρ.

Алгоритм вычисления коэффициентов

Канонической корреляции

1. Определить корреляционную матрицу для обеих групп исходных пере-

менных. Получим расширенную матрицу корреляций:

⎛ 1 rXX

⎜ 1 2

 

X

... r

X

1 q

 

X Y

r...

1 1

rXY ⎞

X

p ⎟

⎜ rX

R = ⎜

 

X

2 X 1

1... r

X

2 q

rX 2 Y 1

...

r 2 p ⎟

⎟.

⎜ M M

⎜ r r

O M

... r

M O M ⎟

r... 1 ⎟

⎝ YpX 1

YpX 2

YpXq

YpY 1 ⎠

 

Матрица R фактически состоит из четырех частей:

 

⎜

R = ⎛ R 11

⎝ R 21

R 12 ⎞

⎟,

R 22 ⎠

 

где

R 11

– корреляционная матрица факторных показателей

X 1,

X 2, …, Xq

размерности

q × q,

R 22

– корреляционная матрица результативных показа-

телей

Y 1,

Y 2, …, Yp

размерности

p × p,

R 12

и R 21

– корреляционные мат-

рицы показателей

X 1,

X 2, …,

Xq и

Y 1,

Y 2, …, Yp

размерности

q × p и

p × q

 

соответственно, причем

 

R 21

= RT.

2. Вычислить вспомогательные матрицы

−1 −1

R и

R.

11 22

−1 −1

3. Найти матрицу

C = R 22 R 21 R 11 R 12

и вычислить её собственные значения,

i

которые для удобства обозначим

λ2. Для этого нужно решить уравнение

det(C − λ2 E) = 0.

4. Найти p коэффициентов канонических корреляций:

ρ i = λ i

(i =1,..., p).

При этом будем предполагать, что

ρ1 > ρ2 >...> ρ p.

H

5. Оценить значимость коэффициентов канонических корреляций, используя

критерий

χ2. Для каждого m (m =1,..., p) необходимо на уровне значимо-

m

сти αпроверить гипотезу H 0

: ρ m = ρ m +1 =...= ρ p = 0

при альтернативной

 

гипотезе

H m: хотя бы один из коэффициентов

ρ i (i = m, m +1,..., p) отли-

чен от нуля. Для этого найти наблюдаемое значение статистики формуле

χ2 по

2 ⎛ 1 ⎞ p 2

χ набл. = −⎜ n − m − (p + q +1)⎟ln wm, где

wm = ∏(1− ρ i).

⎝ ⎠ i = m

χ

При

> χ

набл.

кр.

(1−α; (p − m +1)(q − m +1))

нулевую гипотезу m

отверг-

 

нуть и принять альтернативную гипотезу

H m.

H

6. Если все гипотезы m

(m =1,..., p) отвергнуты, то все коэффициенты ка-

нонических корреляций

ρ i (i =1,..., p) значимы. Если же при некотором

m

значении

m 0 принимается гипотеза

H 0 0, то это означает, что все коэффи-

циенты

ρ i (i = m 0, m 0 +1,..., p) незначимы.

 

Пример 16.1. Вычислите коэффициенты канонических корреляций

для двух групп переменных: Y 1

– производительность труда (млн руб. / чел.),

Y 2 – уровень рентабельности (%) и

X 1 – трудоемкость единицы продукции

(чел. / ч),

X 2 – численность работающих на предприятии (чел.),

X 3 – фонд

оплаты труда (млн руб.). Данные показатели приведены в таблице.

 

Предприятие	X 1	X 2	X 3	Y 1	Y 2
	0,42			9,8	24,0
	0,25			8,5	12,9
	0,17			9,6	11,0
	0,36			9,0	9,5
	0,56			7,7	9,3
	0,51			11,2	10,0
	0,32			12,0	20,0
	0,55			6,9	9,2
	0,46			8,5	12,1
	0,35			9,3	9,5

 

Решение. Найдём расширенную корреляционную матрицу для обеих групп показателей:

⎛ 1 − 0,39

⎜

0,47

− 0,34

− 0,19⎞

⎟

⎜− 0,39 1

− 0,58

− 0,37

− 0,03⎟

⎜

R = ⎜

⎜

0,47

− 0,58 1

− 0,15

0,13 ⎟.

⎟

 

 

Тогда

⎜− 0,34

⎝− 0,19

− 0,37

− 0,03

− 0,15

0,13

0,5

0,5 ⎟

⎟

⎠

⎛ 1 − 0,39

⎜

0,47 ⎞

⎟

⎛− 0,34

⎜

− 0,19⎞

⎟

R 11 =⎜− 0,39 1

⎜

− 0,58⎟,

⎟

R 12 =⎜− 0,37

=

⎜

− 0,03⎟,

⎟

⎝ 0,47

− 0,58 1 ⎠

⎝− 0,15

0,13 ⎠

⎛− 0,34

R 21 = ⎜

− 0,37

− 0,15 ⎞

⎟,

⎛ 1

R 22 ⎜

0,5⎞

⎟.

⎝− 0,19

−1

− 0,03

−1

0,13 ⎠

⎝0,5 1 ⎠

Найдем матрицу C = R 22 R 21 R 11 R 12:

⎛

С = ⎜

0,62

0,02 ⎞

⎟.

⎝− 0,25

0,09 ⎠

Её собственные значения

λ2 = 0,617,

λ2 = 0,097.

Таким образом, первый коэффициент канонической корреляции

ρ1 =

0,617 = 0,79, а второй

ρ2 =

0,097 = 0,31.

Проверим с помощью критерия

χ2 полученные коэффициенты на зна-

чимость. Вначале проверим значимость двух коэффициентов канонической

корреляции: нулевая гипотеза заключается в том, что

мое значение критерия:

ρ1 = ρ2 = 0. Наблюдае-

χ2 = −⎜10−1− 1(2 + 3+1)⎟ln((1− 0,62)(1− 0,10))= 6,44.

⎛ ⎞

набл.

⎝ ⎠

Критическое же значение при уровне значимости

α= 0,05

и числе степеней

 

свободы

p ⋅ q = 6

 

равно

χ2 (0,95; 6) =1,64. Так как χ2

> χ2

 

, то оба коэф-

 

фициента значимы.

кр.

набл. кр.

Проверим теперь на значимость только второй коэффициент, т.е. нуле-

вая гипотеза заключается в том, что

в этом случае:

ρ2 = 0. Наблюдаемое значение критерия

χ2 = −⎜10− 2 − 1 (2 + 3+1)⎟ln(1− 0,10)= 0,53.

⎛ ⎞

набл.

⎝ ⎠

 

 

Критическое же значение при уровне значимости

α= 0,05

и числе степеней

 

свободы

(p −1)⋅ (q −1) = 2

равно χ2

= 0,10. Так как χ2

> χ2

 

, то второй

 

коэффициент значим.

кр.

набл. кр.

На основании полученных значений коэффициентов канонических корре-

ляций можно сделать следующие выводы. Так как значение

ρ1 достаточно

близко к 1, то связь между факторными и результативными признаками тес-

ная, т.е. выбранные факторы оказывают сильное влияние на производитель-

ность труда и уровень рентабельности. Второй коэффициент

ρ2 достаточно

мал, что говорит о том, что любые другие линейные комбинации факторных и результативных признаков слабо связаны между собой.

 

Теоретические вопросы и задания

1. Для каких целей используются коэффициенты канонической корреляции?

2. Сформулируйте алгоритм нахождения коэффициентов канонической корреляции.

3. Как можно проверить выборочные коэффициенты канонической корреля-

ции на значимость?

 

Задачи и упражнения

1. Дана корреляционная матрица признаков

X 1,

X 2,

X 3, Y 1, Y 2:

⎛ 1 − 0,3

⎜

0,6

0,2

0,7 ⎞

⎟

⎜− 0,3 1

0,4

−0,6

0,8 ⎟

R = ⎜

⎜

⎜

⎜

0,6

0,2

0,4

−0,6

0,2

0,2

0,4 ⎟.

⎟

0,6 ⎟

⎟

⎝ 0,7

0,8

0,4

0,6 1 ⎠

Определите степень зависимости между двумя группами признаков:

X 1,

X 2,

X 3 и

Y 1, Y 2.

2. Имеются следующие данные об индексах производства и цен в отчётном периоде по сравнению с предыдущим.

 

Месяц	Индекс производства, %	Индекс по- требитель- ских цен, %	Вклады населения, %
Энергетика	Машино- строение	Транспорт
Январь	98,4	99,5	102,4	140,7	105,2
Февраль	95,0	101,0	105,2	118,8	106,3
Март	100,5	97,2	110,0	110,6	112,5
Апрель	104,1	103,4	112,3	124,4	114,6
Май	108,2	106,2	124,4	108,7	118,8
Июнь	110,0	108,3	120,5	153,2	110,2
Июль	101,0	115,4	142,1	146,8	113,6

 

 

Август	99,0	112,8	138,2	162,5	125,4
Сентябрь	109,1	122,7	140,1	146,5	146,6
Октябрь	115,2	135,6	115,3	154,8	107,
Ноябрь	128,2	130,5	122,6	146,7	121,3
Декабрь	120,1	101,4	132,7	148,6	125,4
	X 1	X 2	X 3	Y 1	Y 2

Найдите первый коэффициент канонической корреляции и сделайте эко-

номические выводы.

 

Домашнее задание

1. На основании приведенных данных вычислите канонические коэффициен-

ты корреляции для двух групп переменных.

 

№	X 1	X 2	X 3	Y 1	Y 2
		19,4	6,5	15,0	19,0
		19,6	5,4	17,0	11,0
		19,8	3,2	21,0	13,4
		23,3	12,0	18,7	9,3
		16,5	8,6	19,8	1,4
		21,0	9,2	15,2	10,8

2. В результате канонического анализа пяти факторных и двух результатив-

ных показателей получены значения коэффициентов канонической корре-

ляции:

ρ1 = 0,932 и

ρ2 = 0,243. С помощью критерия

χ проверьте значи-

мость двух коэффициентов и второго коэффициента при уровне значимо-

сти α= 0,05.

 

 

Приложения

 

 

x 2

Значения функции Гаусса ϕ(x) = 1 e − 2

2π

 

 

Приложение 1

 

Целые и десятые доли х	Сотые доли х
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3725	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001

 

 

Значения функции Лапласа

 

Φ(x) =

 

x 2

∫ e − t

2π 0

 

/ 2 dt

Приложение 2

 

Целые и десятые доли х	Сотые доли х
0,0	0,0000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0199	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1	0,0398	0,0438	0,0478	0,0517	0,0557	0,0596	0,0636	0,0675	0,0714	0,0753
0,2	0,0793	0,0832	0,0871	0,0910	0,0948	0,0987	0,1026	0,1064	0,1103	0,1141
0,3	0,1179	0,1217	0,1255	0,1293	0,1331	0,1368	0,1406	0,1443	0,1480	0,1517
0,4	0,1554	0,1591	0,1628	0,1664	0,1700	0,1736	0,1772	0,1808	0,1844	0,1879
0,5	0,1915	0,1950	0,1985	0,2019	0,2054	0,2088	0,2123	0,2157	0,2190	0,2224
0,6	0,2257	0,2291	0,2324	0,2357	0,2389	0,2422	0,2454	0,2486	0,2517	0,2549
0,7	0,2580	0,2611	0,2642	0,2673	0,2704	0,2734	0,2764	0,2794	0,2823	0,2852
0,8	0,2881	0,2910	0,2939	0,2967	0,2995	0,3023	0,3051	0,3078	0,3106	0,3133
0,9	0,3159	0,3186	0,3212	0,3238	0,3264	0,3289	0,3315	0,3340	0,3365	0,3389
1,0	0,3413	0,3438	0,3461	0,3485	0,3508	0,3531	0,3554	0,3577	0,3599	0,3621
1,1	0,3643	0,3665	0,3686	0,3708	0,3729	0,3749	0,3770	0,3790	0,3810	0,3830
1,2	0,3849	0,3869	0,3888	0,3907	0,3925	0,3944	0,3962	0,3980	0,3997	0,4015
1,3	0,4032	0,4049	0,4066	0,4082	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4162	0,4177
1,4	0,4192	0,4207	0,4222	0,4236	0,4251	0,4265	0,4279	0,4292	0,4306	0,4319
1,5	0,4332	0,4345	0,4357	0,4370	0,4382	0,4394	0,4406	0,4418	0,4429	0,4441
1,6	0,4452	0,4463	0,4474	0,4484	0,4495	0,4505	0,4515	0,4525	0,4535	0,4545
1,7	0,4554	0,4564	0,4573	0,4582	0,4591	0,4599	0,4608	0,4616	0,4625	0,4633
1,8	0,4641	0,4649	0,4656	0,4664	0,4671	0,4678	0,4686	0,4693	0,4699	0,4706
1,9	0,4713	0,4719	0,4726	0,4732	0,4738	0,4744	0,4750	0,4756	0,4761	0,4767
2,0	0,4772	0,4778	0,4783	0,4788	0,4793	0,4798	0,4803	0,4808	0,4812	0,4817
2,1	0,4821	0,4826	0,4830	0,4834	0,4838	0,4842	0,4846	0,4850	0,4854	0,4857
2,2	0,4861	0,4864	0,4868	0,4871	0,4875	0,4878	0,4881	0,4884	0,4887	0,4890
2,3	0,4893	0,4896	0,4898	0,4901	0,4904	0,4906	0,4909	0,4911	0,4913	0,4916
2,4	0,4918	0,4920	0,4922	0,4925	0,4927	0,4929	0,4931	0,4932	0,4934	0,4936
2,5	0,4938	0,4940	0,4941	0,4943	0,4945	0,4946	0,4948	0,4949	0,4951	0,4952
2,6	0,4953	0,4955	0,4956	0,4957	0,4959	0,4960	0,4961	0,4962	0,4963	0,4964
2,7	0,4965	0,4966	0,4967	0,4968	0,4969	0,4970	0,4971	0,4972	0,4973	0,4974
2,8	0,4974	0,4975	0,4976	0,4977	0,4977	0,4978	0,4979	0,4979	0,4980	0,4981
2,9	0,4981	0,4982	0,4982	0,4983	0,4984	0,4984	0,4985	0,4985	0,4986	0,4986
3,0	0,4987	0,4987	0,4987	0,4988	0,4988	0,4989	0,4989	0,4989	0,4990	0,4990
3,1	0,4990	0,4991	0,4991	0,4991	0,4992	0,4992	0,4992	0,4992	0,4993	0,4993
3,2	0,4993	0,4993	0,4994	0,4994	0,4994	0,4994	0,4994	0,4995	0,4995	0,4995
3,3	0,4995	0,4995	0,4995	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4997
3,4	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4998
3,5	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998
3,6	0,4998	0,4998	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
3,7	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
3,8	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
3,9	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента tкр. = t (α; k)

 

k α
0,01	63,66	9,92	5,84	4,6	4,03	3,71	3,5	3,36	3,25	3,17	3,11
0,05	12,71	4,3	3,18	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,26	2,23	2,2

 

k α
0,01	3,05	3,01	2,98	2,95	2,92	2,9	2,88	2,86	2,85	2,83	2,82
0,05	2,18	2,16	2,14	2,13	2,12	2,11	2,1	2,09	2,09	2,08	2,07

 

k α											∞
0,01	2,81	2,8	2,79	2,78	2,77	2,76	2,76	2,75	2,7	2,66	2,6
0,05	2,07	2,06	2,06	2,06	2,05	2,05	2,05	2,04	2,02

 

 

Значения

q = q (γ; n)

Приложение 4

для нахождения интервальной оценки σ

 

n γ
0,95	1,37	0,65	0,46	0,37	0,32	0,28	0,21	0,14	0,12	0,10
0,99	2,67	1,08	0,73	0,58	0,49	0,43	0,3	0,20	0,16	0,14

 

 

 

χ

Критические точки

χ2 -распределения

 

 

кр.

Приложение 5

= χ 2 (α; k)

 

k α
0,01	6,63	9,21	11,3	13,3	15,1	16,8	18,5	20,1	21,7	23,2
0,05	3,84	5,99	7,81	9,49	11,1	12,6	14,1	15,5	16,9	18,3
0,95		0,1	0,35	0,71	1,15	1,64	2,17	2,73	3,33	3,94
0,99		0,02	0,11	0,3	0,55	0,87	1,24	1,65	2,09	2,56

 

k α
0,01	24,7	26,2	27,7	29,1	30,6		33,4	34,8	36,2	37,6
0,05	19,7		22,4	23,7		26,3	27,6	28,9	30,1	31,4
0,95	4,57	5,23	5,89	6,57	7,26	7,96	8,67	9,39	10,12	10,85
0,99	3,05	3,57	4,11	4,66	5,23	5,81	6,41	7,01	7,63	8,26

 

k α
0,01	38,9	40,3	41,6		44,3	45,6		48,3	49,6	50,9
0,05	32,7	33,9	35,2	36,4	37,7	38,9	40,1	41,3	42,6	43,8
0,95	11,59	12,34	13,09	13,85	14,61	15,38	16,15	16,93	17,71	18,49
0,99	8,9	9,54	10,2	10,86	11,52	12,2	12,88	13,56	14,26	14,95

 

 

 

Критические точки распределения Фишера

Уровень значимости α = 0,01

Приложение 6

Fкр. = F (α; k 1; k 2).

 

k 1 k 2
	98,50	99,00	99,16	99,25	99,30	99,33	99,36	99,38	99,39	99,40	99,41	99,42
	34,12	30,82	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,34	27,23	27,13	27,05
	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,55	14,45	14,37
	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,46	10,29	10,16	10,05	9,96	9,89
	13,75	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87	7,79	7,72
	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	6,99	6,84	6,72	6,62	6,54	6,47
	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,18	6,03	5,91	5,81	5,73	5,67
	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,61	5,47	5,35	5,26	5,18	5,11
	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,20	5,06	4,94	4,85	4,77	4,71
	9,65	7,21	6,22	5,67	5,32	5,07	4,89	4,74	4,63	4,54	4,46	4,40
	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,64	4,50	4,39	4,30	4,22	4,16
	9,07	6,70	5,74	5,21	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10	4,02	3,96
	8,86	6,51	5,56	5,04	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94	3,86	3,80
	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80	3,73	3,67
	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,62	3,55
	8,40	6,11	5,19	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59	3,52	3,46
	8,10	5,85	4,94	4,43	4,10	3,87	3,70	3,56	3,46	3,37	3,29	3,23

Уровень значимости α = 0,05

 

k 1 k 2
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,35	19,37	19,38	19,40	19,40	19,41
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79	8,76	8,74
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,94	5,91
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74	4,70	4,68
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,03	4,00
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64	3,60	3,57
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35	3,31	3,28
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14	3,10	3,07
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98	2,94	2,91
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85	2,82	2,79
	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75	2,72	2,69
	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67	2,63	2,60
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60